66. Непрямий метод найменших квадратів.

Можна довести, що застосування звичайного МНК до рівнянь структурної форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему ідентифікованості окремих рівнянь системи, а також системи загалом.

Залежно від розв'язання цієї проблеми, тобто після перевірки умови ідентифікованості кожного рівняння системи, застосовують такі методи оцінювання параметрів системи:

якщо кожне рівняння системи точно ідентифіковане, то параметри зведеної моделі оцінюють непрямим методом найменших квадратів (НМНК); ідея методу полягає в тому, щоб від структурної форми перейти до зведеної, звичайним МНК оцінити параметри останньої й оберненим перетворенням отримати оцінки параметрів структурної форми;

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних рівнянь, а R  – матриця оцінок параметрів зведеної форми.

67. Двокроковий та трикроковий методи найменших квадратів.

Можна довести, що застосування звичайного МНК до рівнянь структурної форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему ідентифікованості окремих рівнянь системи, а також системи загалом.

якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то параметри моделі оцінюють за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2МНК), що передбачає виконання двох етапів:

а) перший – ендогенні змінні «звільняють» від стохастичних залишків;

6) другий – оцінені рівняння підставляють у структурну систему рівнянь, до яких потім застосовують звичайний МНК;

Система рівнянь для обчислення оцінок двокроковим методом найменших квадратів запишеться так:

де Y – вектор залежної або ендогенної змінної;

Y₁ – матриця поточних ендогенних змінних, які входять у праву частину рівняння;

X – матриця всіх пояснювальних або екзогенних змінних;

X₁ – матриця пояснювальних або екзогенних змінних даного рівняння;

 – вектор структурних параметрів, які стосуються змінних матриці Y₁;

 – вектор структурних параметрів, які стосуються до змінних матриці X₁.

Тоді оператор оцінювання 2МНК запишеться так:

.

Дисперсія залишків для кожного рівняння має вигляд:

.

Матриця коваріацій параметрів кожного рівняння визначається на основі співвідношення:

.

4) трикроковий метод найменших квадратів для одночасного оцінювання всіх рівнянь системи за певних обставин ефективніший порівняно з непрямим і двокроковим МНК.

Особливістю 3МНК є те, що при оцінюванні параметрів системи

загалом слід зважати на залежності між окремими рівняннями. Ці за-

лежності виявляються в тому, що залишки окремих рівнянь корелюють

між собою, тобто загальна матриця коваріацій системи є недіагональною.

У такій ситуації найкращим методом оцінювання є узагальнений метод

найменших квадратів (метод Ейткена). Однак у цьому разі необхідно

знати перше наближення матриці коваріацій. Для рівнянь множинної регресії з автокорельованими залишками цю матрицю отримують на

підставі залишків моделі, параметри якої оцінено за звичайним МНК,

і вже після обчислення коефіцієнта кореляції коригують загальний

оператор оцінювання параметрів рівняння.

Для систем рівнянь, особливо в разі надідентифікованості окре-

мих рівнянь, краще початкове наближення матриці коваріацій виз-

начають за залишками, які отримано в результаті оцінювання пара-

метрів рівнянь за двокроковим МНК. Отже, са′ме поєднання 2МНК

і методу Ейткена дало назву цьому методу.

Трикроковий метод найменших квадратів (3МНК), на відміну від попередніх, призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі. Оператор оцінювання 3МНК матиме вигляд:

де  – оцінки параметрів моделі;

Z_s = (Y_s X_s), – Z_s  – змінні моделі, які знаходяться в правій частині s-го рівняння;

 – дисперсії залишків для кожного рівняння, які є наближеною оцінкою .

Для практичного застосування 3МНК потрібно виконати такі ви-

моги [17]:

1) усі тотожності, які входять до системи рівнянь, виключають

з розгляду, тому що вони не містять невідомих параметрів і не пара-

метризуються;

2) кожне неідентифіковане рівняння також виключають із систе-

ми, оскільки оцінити їх параметри в принципі неможливо;

3) точно ідентифіковані та надідентифіковані рівняння поділяють

на дві різні групи і 3МНК застосовують до кожної з них окремо;

4) якщо група надідентифікованих рівнянь складається лише з од-

ного рівняння, то 3МНК перетворюється на 2МНК;

5) кореляція залишків окремих рівнянь системи призводить до

того, що загальна матриця коваріацій системи є недіагональною, од-

нак водночас не між усіма рівняннями системи існує залежність, тому

матриця коваріації часто буває блочно-діагональною, тоді оцінюван-

ня параметрів на основі 3МНК виконують окремо для кожної групи рівнянь, що відповідають одному блоку.