44. Коефіцієнти автокореляції та їх застосування. Автокореляційна функція та корелограма.

Цей коефіцієнт виражає ступінь взаємозв’язку залишків кожного наступного значення з попереднім, а саме:

I ряд – ;

II ряд – .

Він обчислюється за формулою:

(7.6)

Коефіцієнт може набувати значень в інтервалі (–1;+1). Від’ємні значення його свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні – про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції, тобто стверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції залишків. Оскільки ймовірнісний розподіл встановити трудно, то на практиці замість обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції .

Загалом, якщо часовий ряд має циклічний характер, тобто припускається, що після значення загальний характер зміни членів ряду повторюється, то автокореляцію виз­начають за допомогою коефіцієнта r⁰, запровадженого Андерсоном.

У цьому разі автокореляція визначається між послідовностями, зсунутими на період :

Якщо період =1, то маємо коефіцієнт циклічної автокореляції першого порядку, який відбиває інтенсивність взаємозв’язку між послідовностями:

I ряд – , ;

II ряд – , .

Циклічний коефіцієнт обчислюється за формулою:

(7.7)

Для досить довгих рядів вплив циклічних членів на величину коефіцієнта незначний, тому можна вважати, що ймовірнісний розподіл наближається до розподілу . Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто u₁ = u_n, то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному. Очевидно, що коли залишки не містять тренду, то припущення про рівність u₁ = u_n недалеке від реальності і циклічний коефіцієнт автокореляції наближається до нециклічного.

Фактично обчислене значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду n. Якщо , то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати у вигляді

(7.8)

На практиці часто замість (7.8) обчислюють

(7.9)

Аналогічно можна визначити коефіцієнти другого та більш високого порядків (в формулах 7.6-7.9 замість використовують , а сумують починаючи не з 2, а з ).

Число періодів, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називається лагом. Однак, зі збільшенням лагу число пар значень, по яким розраховується коефіцієнт, зменшується. Вважається

доцільним для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів використовувати правило, що максимальний лаг не повинен перевищувати n/4.

Властивості коефіцієнта автокореляції:

1) він характеризує тісноту лінійного зв’язку поточного та попередніх рівнів ряду і при наявності сильного нелінійного зв’язку може прямувати до 0;

2) по знаку коефіцієнта кореляції не можна робити висновок про зростаючу чи спадну тенденцію в рівнях ряду; більшість часових рядів економічних даних містять додатну автокореляцію рівнів, але при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого та наступних порядків називають автокореляційною функцією часового ряду. Графік залежності її значень від величини лагу називається корелограмою. За даними функцією та графіком можна визначити структуру ряду.