28. Оцінка якості моделі множинної регресії. Перевірка виконання передумов мнк. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл залишків регресії

Якість моделі регресії перевіряється на основі аналізу залишків регресії . Аналіз залишків дозволяє отримати уявлення про те, наскільки добре підібрана модель і наскільки правильно вибраний метод оцінки коефіцієнтів. Згідно загальним припущенням регресійного аналізу, залишки повинні вести себе як незалежні однаково розподілені випадкові величини. Дослідження доцільно починати з вивчення графіку залишків. Він може показати наявність якої-небудь залежності, що не врахована в моделі. Графік добре показує і викиди, яких потрібно позбавлятися.

Якість моделі оцінюється за наступними напрямками (аналогічно до парної регресії):

• перевірка якості рівняння регресії (індекс кореляції та коефіцієнт детермінації);

• перевірка значимості рівняння регресії (критерій Фішера);

• аналіз статистичної значущості параметрів моделі (t-критерій);

• перевірка виконання передумов МНК.

Умови, що необхідні для отримання незміщених, спроможних та ефективних оцінок, представляють собою передумови МНК. Виконання умови рівності нулеві математичного очікування залишків забезпечується завжди при використанні МНК для лінійних моделей. Передумова про нормальний розподіл залишків дозволяє проводити перевірку параметрів регресії за допомогою критеріїв t та F. разом з тим оцінки регресії, отримані методом МНК, мають добрі властивості навіть при відсутності нормального розподілу залишків. Таким чином, найважливішими є виконання умови незалежності та умови гомоскедастичності.

29. Етапи побудови економетричної моделі.

Припустимо, що між ціною та означеними технічними характеристиками існує лінійна залежність:

Необхідно:

1. обчислити статистичну оцінку вектора , тобто визначити для залежності між досліджуваним фактором Y (ціною автомобіля) та пояснюючими змінними X₁ (вік автомобіля) і X₂ (об’єм двигуна);

2. проаналізувати ступінь адекватності побудованої моделі та вибіркових даних;

3. виконати дисперсійний аналіз моделі та обчислити коефіцієнт множинної детермінації ;

4. перевірити статистичну значущість коефіцієнта детермінації на основі критерію Фішера;

5. визначити виправлені дисперсії та виправлені середньоквадратичні відхилення для статистичних оцінок ;

6. із заданою надійністю побудувати довірчі інтервали для параметрів ;

7. одержати прогнозне значення та побудувати для нього із заданою надійністю довірчі інтервали;

визначити часткові коефіцієнти еластичності

30. Оцінка якості прогнозів за регресійними моделями

Довірчі інтервали прогнозу визначаються як:

,

де – стандартна похибка прогнозу

Визначимо за формулою стандартну похибку прогнозного значення :

31. Нелінійна регресія відносно пояснюючих змінних. Нелінійна регресія по параметрам, що оцінюються. Внутрішньо лінійна та нелінійна функції.

Розрізняють два класи нелінійних регресій:

1) нелінійні відносно пояснюючих змінних, однак лінійні по параметрам, що оцінюються;

2) нелінійні по параметрам, що оцінюються.

Клас регресій нелінійних відносно пояснюючих змінних, однак лінійних по параметрам, що оцінюються, включає рівняння, в яких залежна змінна лінійно пов’язана з параметрами. Приклад таких регресій можуть слугувати:

• поліноми різних ступенів

; (5.1)

• рівностороння гіпербола

. (5.2)

При оцінці параметрів регресії, нелінійних по пояснюючим змінним, використовується метод заміни змінних. Суть його полягає в заміні нелінійних пояснюючих змінних новими лінійними змінними, в результаті чого нелінійна регресія зводиться до лінійної. До нової, перетвореної регресії може бути застосований звичайний МНК.

Наприклад, у випадку поліноміальної моделі з декількома пояснюючими змінними

(5.3)

заміна , , , ... призводить до лінійної регресійної моделі.

До класу регресій, нелінійних по параметрам, що оцінюються, відносяться рівняння, в яких залежна змінна нелінійно пов’язана з параметрами. Прикладом таких регресій є функції:

• степенева: ;

• показникові: ;

• експоненціальні: .

Якщо нелінійна модель внутрішньо лінійна, то вона за допомогою відповідних перетворень може бути приведена до лінійного виду (наприклад, логарифмуванням). Якщо ж нелінійна функція внутрішньо нелінійна, то вона не може бути зведена до лінійної функції і для оцінки її параметрів використовують ітеративні процедури, успішність яких залежить від виду рівняння та особливостей ітеративного підходу, що застосовується.

Прикладом регресії, що є внутрішньо лінійної є регресія попиту (Y) від загального доходу (z) та ціни цього товару (p):

.