32. Особливості параметризації нелінійної регресії. Вибір аналітичної форми дослідження.

Прикладом регресії, що є внутрішньо лінійної є регресія попиту (Y) від загального доходу (z) та ціни цього товару (p):

. (5.4)

Подібні залежності між показником Y та m факторами Z₁, Z₂, ..., Z_m записуються у вигляді

(5.5)

і за допомогою логарифмічного перетворення

(5.6)

зводяться до лінійної по параметрам регресії. Визначення

, , , ..., (5.7)

призводять до лінійної регресійної моделі

. (5.8)

Після оцінювання лінійної моделі (5.8) за допомогою відношень (5.7) можна знайти оцінену регресію для моделі (5.5):

. (5.9)

Моделі виду (5.5) отримали широке розповсюдження при економетричному моделюванні. Це пов’язано з тим, що параметри такої моделі мають змістовну економічну інтерпретацію. З (5.5) випливає, що

, (5.10)

тобто параметр a_i представляє собою коефіцієнт еластичності показника Y по змінній x_i.

Для моделей виду

(5.11)

також використовується логарифмічне перетворення, оскільки визначення , , , ..., приводять їх до лінійної регресії (5.8).

Вибір аналітичної форми дослідження моделі може здійснюватися на основі апріорної інформації про залежність та на основі графіків розкиду емпіричних точок.

33. Фіктивні змінні. Ілюстрація використання фіктивної змінної. Множинні сукупності фіктивних змінних.

. Часто змінні, що відображають якісні характеристики об'єкта, набувають лише двох значень: 1 – якщо певна ознака присутня; 0 – якщо вона відсутня. Такі змінні називають бінарними, дихотомними або dummy-змінними.(это и есть фиктивные переменные)

Дихотомні змінні використовують у регресійних моделях поряд з кількісними змінними або утворюють регресійні моделі, у яких всі фактори є якісними (бінарними) змінними.

Наприклад, при дослідженні заробітної плати може виникнути питання залежності її від рівня освіти, від| статі працівника тощо. За певними якісними ознаками, звичайно, дані можна поділити за категоріями й вивчати кожну залежність окремо, а вже потім шукати відмінності між ними. Але введення додаткової бінарної змінної дає змогу оцінювати одне рівняння, у якому різні класи спостережень розділяються за допомогою цієї змінної. Однією із сфер застосування бінарних змінних є аналіз сезонних коливань.

Приклад. Нехай регресійна модель залежності заробітної плати у від деяких кількісних факторів має вигляд

(5.12)

Тоді для вивчення впливу вищої освіти на рівень оплати праці вводять нову змінну , яка може набувати двох значень: , якщо робітник має вищу освіту, та , якщо не має. Модель, що враховує цей фактор, матиме вигляд

(5.13)

Крім того, можлива комбінація фіктивних змінних різного виду. Вона дозволяє моделювати зміну нахилу тренду з визначеного моменту. Тоді окрім тренду в регресію вводиться наступна змінна: на початку вибірки до деякого моменту вона дорівнює 0, а далі вона представляє собою часовий тренд (1, 2, 3 … у випадку однакових інтервалів між спостереженнями).

34. Оцінка якості моделі. Дослідження відповідності моделі емпіричним даним. Оцінка точності моделі.

Модель вважається гарною зі статистичної точки зору, якщо вона адекватна і достатньо точна.

1. Для перевірки адекватності моделі реальному явищу досліджується ряд залишків, тобто розбіжностей рівнів, розрахованих по моделі, та фактичних спостережень.

а) Перевірка рівності математичного очікування рівнів ряду залишків нулю здійснюється в ході перевірки відповідної нульової гіпотези . З цією метою будується t-статистика:

(5.17)

де  – середнє арифметичне значення рівнів ряду залишків;

S – середньоквадратичне відхилення для цієї послідовності, розраховане для малої вибірки.

В подальшому дане розраховане значення порівнюють з табличним і роблять висновок про прийняття або відхилення гіпотези.

б) Перевірка умови випадковості виникнення окремих відхилень від тренду.

в) Перевірка умови незалежності, або наявності автокорреляції у відхиленнях від моделі росту (буде розглянуто пізніше).

г) Відповідність ряду залишків нормальному закону розподілу.

Оцінка точності моделі. В статистичному аналізі широко відомо велика кількість характеристик точності. Найбільш часто, окрім середньоквадратичного відхилення, використовують:

• максимальна за абсолютною величиною похибка

; (5.18)

• відносна максимальна похибка

; (5.19)

• середня по модулю похибка

; (5.20)

• середня по модулю відносна похибка

. (5.21)

Кращою за точністю вважається та модель, у якої всі перелічені характеристики мають меншу величину.