54. Модель адаптивних сподівань. Модель часткового коригування.

Адапт. Ожидания

55. Оцінювання параметрів методом Ейткена.

За наявності гетероскедастичності для оцінювання параметрів моделі доцільно застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена), вектор оцінювання якого має вигляд:

.

Вектор а містить незміщену лінійну оцінку параметрів моделі, яка має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій:

.

Для отримання УМНК-оцінок необхідно знати коваріаційну матрицю S вектора похибок, яка на практиці дуже рідко відома. Тому природно спершу оцінити матрицю S, а потім застосувати її оцінку у формулах. Цей підхід є суттю УМНК.

Оскільки явище гетероскедастичності пов’язане лише з тим, що змінюються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною, а саме:

Звідси в матриці S значення можна обчислити, користуючись гіпотезами:

а) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснювальної змінної ;

б) , тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни квадрата пояснювальної змінної ( );

в) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за модулем.

Для першої гіпотези:

Для другої гіпотези:

Для третьої гіпотези:

Як зазначалося, оператор оцінювання УМНК можна записати так:

(7.11)

де  – вектор оцінок параметрів економетричної моделі;

 

 – матриця, обернена до матриці кореляції залишків;

 – матриця, обернена до матриці V, де , а  – залишкова дисперсія.

Звідси

(7.12)

Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформувати матрицю S (7.2).

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків при s > 2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

(7.13)

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

При цьому для обчислення  використовується циклічний коефіцієнт кореляції r, розрахований за формулою (7.8) або (7.9).

Зауважимо, що параметр r (або ) має зміщення. Тому, використовуючи такий параметр для формування матриці S, необхідно скоригувати його на величину зміщення

(7.14)

де  – величина зміщення (m – кількість незалежних змінних

56. Динамічний та часовий ряди. Систематичні та випадкові компоненти часового ряду. Стаціонарність часового ряду.

Динамічний ряд – це сукупність спостережень одного показника, впорядкованих залежно від значень іншого показника, що послідовно зростають або спадають.

Часовий ряд (time series) – це ряд динаміки, впорядкований за часом, або сукупність спостережень економічної величини в різні моменти часу.

Існує дві основні мети аналізу часових рядів:

• визначення природи ряду та

• прогнозування

Розгляд реальних ситуацій дозволяє прийти до висновку, що типові часові ряди можуть бути представлені як декомпозиція із чотирьох структурно утворюючих елементів:

тренд (U_t),

сезонна компонента (S_t),

циклічна компонента (V_t) – коливання відносно тренда з більшою або меншою регулярністю,

випадкова компонента (E_t), тобто

. (9.1)

Також можуть виділяти і інші компоненти

, (9.2)

де  ‑ компонента, що забезпечує порівнянність елементів динамічного ряду,

 ‑ управляюча компонента, за допомогою якої впливають на значення членів динамічного ряду для формування в майбутньому бажаної траєкторії.

Очевидно, реальні дані цілковито не відповідають лише одній із наведених функцій, тож часовий ряд , можна уявити у вигляді розкладення:

,

Тренд, сезонна і циклічна компоненти не є випадковими і називаються систематичними компонентами часового ряду.

Випадкові чинники не підлягають вимірюванню, але неминуче супроводжують будь-який економічний процес і визначають стохастичний характер його елементів. До випадкових чинників можна віднести помилки вимірювання, випадкові збурення тощо.

Стаціонарний часовий ряд у широкому сенсі – це процес, для якого математичне сподівання та дисперсія існують і є сталими величинами, що не змінюються в часі, а автокореляційна (автоковаріаційна) функція залежить лише від різниці між двома моментами часу і не залежить від конкретного періоду часу. Тобто для реалізації випадкового процесу основні моменти залишаються постійними й обмеженими у разі зміні часу , для якого вони розраховуються, а саме:

математичне сподівання: , для всіх ;

дисперсія: , для всіх ;

автоковаріація порядку :

,

для всіх .

Структуру часового ряду в деяких випадках можна визначити графічно. Це стосується, наприклад, таких компонент ряду, як тренд і сезонні коливання. Однак чисту випадковість інколи помилково сприймають як наявність певної структури, і, навпаки, за шумом можна не розгледіти існування структури. Тому потрібні методи або інструменти, за допомогою яких можна було б звести нанівець ефект впливу шуму, після чого з’ясувати характеристики ряду, необхідні для побудови відповідної прогнозової моделі. Як правило, спочатку з’ясовують, із яким процесом доведеться працювати – стаціонарним чи нестаціонарним.

Стаціонарні ряди ще називають динамічно стабільними або такими, що мають нульовий порядок інтеграції .