45. Оцінка параметрів моделі з автокорельованими залишками. Метод Ейткена.

Оцінку параметрів моделі з автокорельованими залишками можна виконувати на основі чотирьох методів:

1) Ейткена;

2) перетворення вихідної інформації;

3) Кочрена-Оркатта;

4) Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку (7.3).

Ітераційні методи Кочрена-Оркатта і Дарбіна можна застосо­вувати для оцінки параметрів економетричної моделі також і тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку:

. (7.10)

7.3.1 Метод Ейткена (УМНК)

Як зазначалося, оператор оцінювання УМНК можна записати так:

(7.11)

де  – вектор оцінок параметрів економетричної моделі;

 

 – матриця, обернена до матриці кореляції залишків;

 – матриця, обернена до матриці V, де , а  – залишкова дисперсія.

Звідси

(7.12)

Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформувати матрицю S (7.2).

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків при s > 2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

(7.13)

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

При цьому для обчислення  використовується циклічний коефіцієнт кореляції r, розрахований за формулою (7.8) або (7.9).

Зауважимо, що параметр r (або ) має зміщення. Тому, використовуючи такий параметр для формування матриці S, необхідно скоригувати його на величину зміщення

(7.14)

де  – величина зміщення (m – кількість незалежних змінних).

46. Оцінка параметрів моделі з автокорельованими залишками. Метод Кочрена-Оркатта.

Оцінку параметрів моделі з автокорельованими залишками можна виконувати на основі чотирьох методів:

1) Ейткена;

2) перетворення вихідної інформації;

3) Кочрена-Оркатта;

4) Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку (7.3).

Ітераційні методи Кочрена-Оркатта і Дарбіна можна застосо­вувати для оцінки параметрів економетричної моделі також і тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку:

.

Метод Кочрена-Оркатта

Нехай задано економетричну модель

(7.15)

Перетворивши вихідну інформацію за допомогою , дістанемо:

(7.16)

У цій моделі залишки мають скалярну дисперсійну матрицю.

Сума квадратів залишків на основі (7.16) визначатиметься співвідношенням

(7.17)

Безпосередня мінімізація функції (7.17) приводить до системи нелінійних рівнянь, тому аналітичний вираз оцінок параметрів , і дістати важко.

Метод наближеного пошуку параметрів , і , які мінімізують суму квадратів (7.17), дає ітеративний метод, запропонований Кочреном і Оркаттом і названий на їхню честь.

Опишемо його алгоритм.

Крок 1. Довільно вибирають значення параметра , наприклад Підставивши його в (7.17), обчислюють і .

Крок 2. Поклавши і , підставимо їх у (7.17) і обчислимо

Крок 3. Підставивши в співвідношення (7.17) значення , знайдемо і .

Крок 4. Використаємо і для мінімізації суми квадратів залишків (7.17) за невідомим параметром . Процедура триває доти, доки наступні значення параметрів , і не будуть відрізнятись менш як на задану величину.

Проведені дослідження показали, що в результаті застосування методу Кочрена-Оркатта завжди знаходимо глобальний оптимум і алгоритм забезпечує порівняно добру збіжність.