13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.

Пусть Е есть множество, счетное или нет, и x — элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар

{(x| mA(x))}, " x Î Е,

где mA(x) — степень принадлежности x в А. Таким образом, если mA(x) принимает свои значения во множестве М значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что x принимает значение в М посредством функции mA(x). Эта функция также называется функцией принадлежности.

• Нечеткое множество А называется пустым, если mA(x) = 0, " x Î Е

• Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек Е, для которых величина mA(x) положительна. Носитель обозначается S(A) или Supp A: S(A) = {x| x Î Е, mA(x) > 0}

• Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup mA(x)  по всем x Î Е

  • Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально.

• Элементы множества Е, для которых степень принадлежности mA(x) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества

• Пусть A и B — нечеткие подмножества. Будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A Í B, если " xΠЕ, mA(x) £ mB(x)

• Множеством a -уровня нечеткого множества А является обычное множество Аa всех таких элементов универсального множества Е, степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна a:

Aa = {x |" xΠЕ, mA(x) ³ a }.

• Множество a -уровня называют иногда сечением a нечеткого множества А. Причем, если mA(x) ³ a , то говорят о сильном сечении, если mA(x)  > a, то о слабом сечении.

• Нечеткое множество А можно разложить по его множествам уровня следующим образом:

где a Aa — произведение числа a на множество Aa. Знак S — знак объединения множеств Aa по a .

14. Основные логические операции над нечеткими множествами и их свойства.

Логические операции над нечеткими множествами

Операция включения (A Í B). Пусть A и B — нечеткие подмножества. Будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A Í B, если " xΠЕ, mA(x) £ mB(x)

Равенство. A и B равны (A = B), если " xΠЕ, mA(x) = mB(x)

• Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Объединением нечетких множеств А и В в Е называют наименьшее нечеткое подмножество A Y В, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности вида: mA Y B (x) = max(mA(x), mB(x)), " xΠE

• Пересечением нечетких множеств А и В в Е называют наибольшее нечеткое подмножество А I В, содержащееся одновременно в А и В, с функцией принадлежности вида: mA I B (x) = min(mA(x), mB(x)), " xΠE

• Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое множество -A с функцией принадлежности: m-A (x) = 1 — mA(x), " xΠE

• Разность нечетких множеств А и В определяется по-разному, введением двух независимых операций

или mA - B (x) = min(mA(x), 1 — mB(x)), " xΠE

• Дизъюнктивная сумма А Å В нечетких множеств А и В определяется как

mA  Å  B (x) = max[ min(mA(x), 1 — mB(x) ), min(mB(x), 1 — mA(x))] " xΠE