57. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и с помощью таблицы Кэли. Примеры k-значных логик.

Алгебра, образованная k-элементным множеством вместе со всеми операциями на нем, называется алгеброй k-значной логики, а n-арные операции на k-элементном множестве называются k-значными логическими функциями n переменных; множество всех k-значных логических функций обозначается Pk.

Способы задания логических функций

• Таблица истинности: в левой части — перечислены все 2n наборов значений переменных, в правой части — значения функции на этих наборах.

• Наборы, на которых функция f = 1, часто называют единичными наборами функции f, а множество единичных наборов — единичным множеством f. Соответственно наборы, на которых f = 0, называют нулевыми наборами f , а множество нулевых наборов — нулевым множеством f.

• Число |P2(n)| различных функций n переменных равно числу различных двоичных векторов длины 2n, т.е.

58. Предикат: n-местный (n=0, n>0), тождественно истинный, тождественно ложный, выполнимый. Область истинности предиката. Связь между n-местными предикатами и n-местными отношениями.

Предикат (от позднелат. рraedicatum — сказанное) — высказывательная функция, определенная на некотором множестве M, т.е. такая n-местная функция P, которая каждому упорядоченному набору элементов множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое ; P называется n-местным предикатом на M. Под 0-местным предикатом понимается произвольное высказывание.

В математической логике высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 («истина») или 0 («ложь»). При этом понятие предиката получает следующее, наиболее общее определение: n-местным предикатом на множестве M называется произвольная n-местная функция, определенная на M и принимающая значения 0 и 1. Если на наборе значений аргументов предикат P принимает значение 1, то есть , то говорят, что этот набор значений аргументов удовлетворяет предикату P, а предикат P выполняется для набора . Предикат называется тождественно истинным, если он выполняется для любого набора значений своих аргументов, и тождественно ложным, если никакой набор не удовлетворяет этому предикату. Предикат называется выполнимым, если он выполняется хотя бы для одного набора значений аргументов.

Множество тех наборов значений аргументов, которые удовлетворяют данному предикату, называется областью истинности этого предиката. Если P есть n-местный предикат на множестве M, то его область истинности является n-местным отношением на M. И наоборот, каждому n-местному отношению на множестве M однозначно соответствует n-местный предикат на M. Поэтому изучение предикатов и отношений тесно связано между собой.

59. Квантор всеобщности и квантор существования.

С помощью логических операций из данных предикатов можно строить более сложные предикаты. Наряду с теми логическими операциями, которые действуют и над высказываниями, для образования новых предикатов из уже имеющихся применяются кванторы.

Применение квантора всеобщности к предикату , где дает (n – 1)-местный предикат , который набору сопоставляет высказывание, истинное тогда и только тогда, когда для любого значения a переменной x_i истинно высказывание .

Квантор существования в применении к предикату при дает (n – 1)-местный предикат , который набору сопоставляет высказывание, истинное тогда и только тогда, когда хотя бы для одного значения a переменной x_i истинно высказывание .

60. Формула в исчислении предикатов. Предикатная переменная. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу. Выполнимая формула. Тождественно истинная формула и тождественно ложная формула. Общезначимая формула, противоречивая формула.

Исследованием связей между предикатами, определяемых их логической структурой, занимается логика предикатов.

Предикатная переменная — переменная, возможными значениями которой являются предикаты.

Исчисление предикатов — это общее название формальных систем, служащих для формализации логических умозаключений, в которых учитывается как логическая структура суждений (то есть каким образом данное суждение получено из других с помощью логических операций), так и их субъектно-предикатная структура, то есть связь между субъектом суждения (о чем говорится в данном суждении) и предикатом (что говорится о субъекте). При этом для логического анализа суждений наряду с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, используются кванторы, а субъектно-предикатная структура уточняется с помощью понятия предиката.

Поскольку в математической логике интересуются лишь структурой суждений, отвлекаясь от их конкретного смысла, а также во избежание двусмысленностей, свойственных естественным языкам, для построения логики предикатов используется формализованный язык, алфавит которого обычно содержит четыре группы символов:

1) предикатные переменные — выражения вида , где m и n — неотрицательные целые числа;

2) предметные переменные ;

3) логические символы  (или  — конъюнкция),  (дизъюнкция),  (импликация),  (эквивалентность), ¬ (отрицание),  (квантор существования),  (квантор всеобщности);

4) вспомогательные символы (,) (скобки) и , (запятая).

Выражение называется m-местной предикатной переменной; 0-местные предикатные переменные называются пропозициональными переменными.

Элементарной формулой называется всякая пропозициональная переменная, а также любое выражение вида , где P — какая-либо m-местная предикатная переменная (m > 0), а — произвольные предметные переменные. Из элементарных формул следующим образом строятся предикатные формулы:

1) все элементарные формулы суть формулы;

2) если  и  — формулы, то выражения (  ), (  ), (  ), (  ),¬ считаются формулами;

3) если  — формула, x — предметная переменная, то x  и x  суть формулы.

Например, предикатными формулами являются .

Часть формулы  , которая сама является формулой, называется подформулой формулы .

Областью действия квантора y  или y в формуле  называется такая ее подформула , что y  или y является подформулой формулы .

Вхождение переменной y в формулу  называется связанным, если оно есть вхождение в квантор y  или y, или в область действия одного из этих кванторов.

Всякое вхождение переменной y, не являющееся связанным, называется свободным. Например, в формуле первые два вхождения переменной x₁ — связанные, а третье — свободное.

Переменная y называется свободной переменной формулы , если она имеет свободные вхождения в .

Говорят, что задана интерпретация формулы  на непустом множестве M, если каждой свободной переменной формулы  сопоставлен некоторый элемент из M, а каждой m-местной предикатной переменной из  — некоторый m-местный предикат на M. Истинностное значение  формулы  в данной интерпретации определяется индукцией по построению формулы . Если  имеет вид , то ее значением является значение предиката, сопоставленного предикатной переменной P, на наборе значений переменных . Если  имеет вид ¬, то = И тогда и только тогда, когда = Л. Аналогично, в соответствии с истинностными таблицами для логических операций  определяются значения формул вида (  ), (  ), (  ), (  ) через значения формул  и . Например,   = И, тогда и только тогда, когда = И и = И. Значение формулы y есть Л в том и только том случае, когда  = Л в некоторой интерпретации, полученной из данной приписыванием значения переменной y. Значение формулы y есть И, если = И в некоторой интерпретации, полученной из данной приписыванием значения переменной y. Если = И, то говорят, что формула  истинна в данной интерпретации.

Предикатная формула называется общезначимой на множестве M, если она истинна в любой интерпретации на M. Например, формула

общезначима на любом множестве, содержащем ровно один элемент, и не будет общезначимой на M, если в M есть хотя бы два элемента. Формула называется общезначимой или тавтологией, или тождественно истинной, если она общезначима на любом непустом множестве. Тот факт, что формула  общезначима, обычно обозначают так:  

Целью логики предикатов является описание класса всех общезначимых формул. Одним из способов такого описания является построение исчисления предикатов, то есть исчисления, аксиомами и выводимыми формулами которого являются предикатные формулы. При этом в качестве аксиом выбираются некоторые общезначимые формулы, а правила вывода позволяют из общезначимых формул получать новые общезначимые формулы.