15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
Отношения частичного порядка рефлексивность: (a M) ((a,a)R); транзитивность: (a,b,c M) (((a,b)R) и (b,c)R) (a,c)R) антисимметричность: (a,b M) (((a,b)R) и (b,a)R)╚ a=b);
Отношение «какой элемент более предпочтителен» определено не для каждой пары.
Пусть
aRb
и a<b
(b
предпочтительней, чем а)
Уровни иерархии: Нижние уровни: элементы, являющиеся наименее предпочтительными.
Высшие уровни: элементы, которые над ними доминируют.
A={a,b,c}
Множество
булеан (множество всех подмножеств
данного множества). Мощность булеана
определяется как:
.
В данном случае 8.
Отношение быть подмножеством: транзитивное и антисимметричное (следовательно отношение порядка).
Диаграммы Хассе используют для наглядного представления ЧУМ. На а этих диаграммах изображают элементы ЧУМ, причем если элемент a предшествует элементу b, то a рисуют ниже b, и соединяют отрезком, если a непосредственно предшествует b.
16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
Изоморфизм (от греческих слов zosi – равный и hjrom – образ, вид, форма) – это одно из основных понятий современной математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.
Пусть даны две системы объектов S и S/ , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во второй системе S/ – определены отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Системы S и S/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=j(x), x = y(x/), где x – произвольный элемент системы S, а x/ – произвольный элемент системы S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот. Отображение j называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение y – изоморфизмом системы S/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S/ обозначается следующим образом: S@S /.
Гомоморфизм – (от греческих слов zomo – равный, одинаковый и hjrom) – отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).
Пример:
{Zn,+} и {Z2n,+}
G: n – 2n
c=a+b
G: 2c=2a+2b=c’
G: a’=2a
G: b’=2b
2a+2b=c’’
2a+2b=2a+2b
Автоморфизм (от греческих слов zotua – сам и hjrom) – изоморфизм некоторой системы объектов на себя.
Эндоморфизм – (от греческих слов nodne – внутри и hjrom) – гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя.
Эпиморфизм – (от греческих слов ipe – на, над, при, после и hjrom) или, что то же самое, сюръективное отображение (сюръекция) множества A на множество B – отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B.
Мономорфизм – (от греческих слов zonom – один и hjrom) или, что то же самое, инъективное отображение (инъекция) множества A в множество B – отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением.
Биморфизм– (от латинского bi – двойной, двоякий и hjrom) или, что то же самое, биективное отображение (биекция) –мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
гомоморфизм эндоморфизм
все A (в, на) B все A (в, на) A
изоморфизм автоморфизм
A B (вз.одн.) A A(вз.одн.)
эпиморфизм (сюръекция)
все A (на) B
мономорфизм (инъекция, вложение)
все A (в, на) B (вз.одн.)
Биморфизм (биекция) = Мономорфизм + Эпиморфизм