- •2. Операции над множествами. Круги Эйлера. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •3. Законы алгебры множеств. Формула включений и исключений.
- •5. Соответствия. Способы задания соответствий.
- •6. Инволюция (обращение) соответствий. Объединение, пересечение, дополнение, произведение соответствий.
- •7. Функциональные соответствия, их связь с графиками функций.
- •8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.
- •9. Отношение. Бинарное отношение. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •Унарные:
- •Бинарные:
- •Соответствия a, b, r
- •10. Отношение эквивалентности. Фактор-множество множества по отношению.
- •11. Отношение предпорядка, упорядоченности, строгой упорядоченности. Отношение частичного порядка.
- •12. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •14. Основные логические операции над нечеткими множествами и их свойства.
- •15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
- •16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •17. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Группа симметрий фигуры.
- •20. Группа подстановок.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями. Кольцо. Тело. Поле (коммутативное тело). Поле Галуа.
- •22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.
- •23. Решетка как универсальная алгебра.
- •Графы и ориентированные графы
- •27. Виды графов: двудольные графы, регулярные графы, полные графы, деревья, планарные графы
- •28. Изоморфизм графов.
- •29. Способы задания графов.
- •32. Эйлеров путь в графе. Задача о кенигсбергских мостах. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла.
- •33. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •34. Гамильтонов цикл в графе. Алгоритм с возвратом для поиска гамильтонова пути. Оценки вычислительной сложности алгоритма.
- •35. Задача коммивояжера. Алгоритм поиска субоптимального решения.
- •36. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности этих алгоритмов.
- •37. Перенумерация вершин графа. Алгоритм топологической сортировки.
- •39. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути в ориентированном графе и его вычислительная сложность.
- •1 Begin
- •40. Алгоритм вычисления расстояний между всеми парами вершин графа. Общий случай.
- •41. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе с неотрицательными весами дуг — метод Дейкстры. Оценка вычислительной сложности.
- •1 Begin
- •5 Begin
- •42. Алгоритм топологической сортировки. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе в случае бесконтурного графа. Оценка вычислительной сложности
- •43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.
- •44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).
- •45. Знаковые орграфы как модель когнитивных карт. Контуры положительной и отрицательной обратной связи и устойчивость/изменчивость моделей на орграфах.
- •46. Двудольные графы. Необходимое и достаточное условие двудольности графа.
- •47. Сети Петри. Функционирование сети Петри. Конечные разметки сети.
- •Иллюстрация к правилу срабатывания перехода
- •48. Сети Петри. Ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость. Моделирование на сетях Петри.
- •50. Конечный автомат как математическая модель устройства с конечной памятью и как управляющая система. Способы описания конечных автоматов: перечислительный; диаграмма состояний; таблица состояний.
- •51. Алгебра логики. Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Бинарные логические операции. Формула. Суперпозиция функций. Таблицы истинности и таблицы Кэли.
- •52. Формы записи операций (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Эквивалентные формулы.
- •53. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •54. Функционально полные системы (базисы). Булева алгебра логики. Функциональная полнота системы булевых функций. Примеры других алгебр логики.
- •55. Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре. Выражение через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание других логических бинарных операций. Двойственность.
- •56. Булева алгебра логики. Сднф и днф. Карта Карно. Функциональные схемы как приложение булевых функций.
- •57. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и с помощью таблицы Кэли. Примеры k-значных логик.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования.
- •61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.
- •62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.
- •64. Исчисление высказываний.
Графы и ориентированные графы
(АНАЛОГИИ И ОТЛИЧИЯ)
Пусть D = (V, A) – орграф |
Пусть G = (V, E) – граф |
Путь в D – последовательность вершин и дуг u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1 , где t0, причем каждая вершина ui V, а каждая дуга ai A, и ai всегда является дугой (ui, ui+1). Путь обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1. |
Цепь в G – последовательность вершин и ребер u1, e1, u2, e2,..., ut, et, ut+1, где t0, причем каждая вершина ui V, а каждое ребро ei E, и ei всегда является ребром (ui, ui+1). Цепь обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1. Цепь = маршрут без повторений (каждое ребро проходится лишь один раз). |
Полупуть в D – последовательность вершин и дуг u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1, где t0, причем каждая вершина ui V, а каждая дуга ai A, и ai всегда является либо дугой (ui, ui+1), либо дугой (ui+1, ui). Полупуть также обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1. |
Аналогия — та же цепь (см. выше)
В определении полуцепи нет смысла — полуцепь всегда совпадает с соответствующей цепью.
|
Полный путь или полный полупуть в D – путь или полупуть, проходящий через все вершины D. |
Полная цепь или полная полуцепь в G – цепь или полуцепь, проходящая через все вершины G. |
Простым путем или простым полупутем в D называется путь или полупуть без повторяющихся вершин. |
Простой цепью в G называется цепь без повторяющихся вершин. |
Замкнутым путем или полупутем в D называется путь или полупуть u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1, в котором ut+1=u1. |
Замкнутой цепью в G называется цепь u1, u2, ..., ut, ut+1, в которой ut+1=u1. |
Полный замкнутый путь или полный замкнутый полупуть в D – полный путь или полный полупуть, который замкнут. |
Полная замкнутая цепь в G – полная цепь, которая замкнута. |
Контуром в D называется замкнутый путь u1, u2, ..., ut, u1, в котором все вершины различны. |
Циклом в G называется замкнутая цепь u1, e1, u2, e2,..., ut, et, u1 , в которой все вершины различны. |
Полуконтуром в D называется замкнутый полупуть, u1, a1, u2, a2,..., ut, at, u1, в котором все вершины u1, u2, ..., ut и все дуги a1, a2,..., at различны. |
Аналогия — тот же цикл (см. выше) В определении полуцикла нет смысла — полуцикл всегда совпадает с соответствующим циклом. |
Вершина ui, достижима из вершины uj, если имеется путь из ui в uj. |
Вершина ui, достижима из вершины uj, если имеется соединяющая их цепь. |
Вершины ui и uj соединимы, если имеется путь из вершины ui в вершину uj или из вершины uj в вершину ui. |
Вершины ui и uj соединимы, если имеется соединяющая их цепь. |
Длиной пути, полупути, простого пути, простого полупути, контура или полуконтура называется число дуг, содержащихся в них. |
Длиной цепи, простой цепи или цикла называется число ребер, содержащихся в них. |
Расстояние d(ui, uj) от вершины ui и до вершины uj в D равно длине кратчайшего пути из ui в uj или не определено, если путь из ui в uj отсутствует. Во взвешенном графе длиной и расстоянием обычно называют с учетом веса ( весов). |
Расстояние d(ui, uj) от вершины ui и до вершины uj в G равно длине кратчайшей цепи между ui и uj или не определено, если цепь между ними отсутствует. |
26. Основные классы графов: обыкновенный, орграф, псевдограф, мультиграф, сеть.
а — обыкновенный
б — орграф
в — псевдограф
г — мультиграф
д — смешанный граф
е — сеть