1. Множества. Отношение принадлежности. Универсум. Мощность множества. Пустое множество. Подмножество, надмножество, собственное подмножество. Семейство множества. Булеан множества. Отношение включения. Способы задания множеств. Парадокс Рассела.

«Произвольная совокупность определенных предметов нашей интуиции или интеллекта, которые можно отличить один от другого и которые представляются как единое целое, называется множеством. Предметы, которые входят в состав множества, называются его элементами»

• Через Î обозначается отношение принадлежности, т.е. x Î A означает, что элемент x принадлежит множеству A.

• Если x не является элементом множества A, то это записывается x Ï A или x  A.

• Два множества A и B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Пишется A = B, если A и B равны, и A ¹ B в противном случае.

• Через Í обозначается отношение включения множеств, т.е. A Í B означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B. В этом случае A называется подмножеством B, а B — надмножеством A. Если A Í B и A ¹ B, то A называется собственным подмножеством B, и в этом случае пишем A Ì B.

• Мощностью (или кардинальным числом) множества называется количество элементов в нем.

• Множества могут быть конечными (т.е. состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными.

• Множество мощности 0, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через Æ.

• Некоторое, общее для всех множеств данной мощности, надмножество, называется универсальным множеством или универсумом и обозначается обычно как U.

• Фиксируем множество Ω. Мы рассматриваем подмножества Ω, т.е. множества, содержащиеся в Ω. Семейство всех подмножеств Ω обозначаем через P(Ω); P(Ω) — множество, все элементы которого сами являются множествами. Термин семейство понимается здесь в следующем смысле: семейство — множество, все элементы которого сами являются множествами (вместо множества множеств говорим семейство множеств).

Теорема Если мощность конечного множества А равна , то число всех подмножеств А равно , то есть .

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается . Для конечных множеств выполняется: .

Способы задания множеств:

• Перечислением элементов;

• Описание характеристических свойств или характеристическим предикатом;

• Порождающей процедурой (например, индуктивными или рекурсивными правилами).

Антиномия (парадокс) Рассела

Рассмотрим все множества, не содержащие самих себя. Рассмотрим множество всех таких множеств. Тогда: если оно не содержит себя, то оно содержит себя

Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: . Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если , то . С другой стороны, если , то ! Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимся к тому, что не является множеством.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

2. Операции над множествами. Круги Эйлера. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.

• Объединением (дизъюнкцией, суммой) множеств A и B называется множество

A È B = {xï x Î  A или  x Î  B}.

• Пересечением (конъюнкцией) множеств A и B называется множество

A Ç B = {xï x Î A и  x Î B}.

• Разностью множеств A и B называется множество

A \ B = {xï x Î A и  x Ï B}

• Разность  U \ A называется дополнением множества A и обозначается через –A.

• Симметрической разностью множеств A и B называется множество

A D B = (A \ B) È (B \ A) 

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Вэйна.

Опр Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается: А  В.А  В = (A \ B)  (B \ A)

Разбиения и покрытия множеств

• Если множество A представляет собой объединение подмножеств А1, А2, …, Аn, …, то совокупность {А1, А2, …, Аn, …} подмножеств называется покрытием множества A.

• Если же совокупность подмножеств покрытия множества A такова, что Ai Ç  Aj = Æ при i¹ j, то совокупность {А1, А2, …, Аn, …} называется разбиением множества A, а подмножества Ai — классами этого разбиения.

3. Законы алгебры множеств. Формула включений и исключений.

• Законы ассоциативности

;

• Законы коммутативности

;

• Законы иденпотентности

;

• Законы дистрибутивности

;

;

• Законы дополнения

;

• Законы де Моргана

;

• Законы универсального множества

;

• Законы пустого множества

;

• Законы дополнения

;

• Законы инволютивности

• Законы поглощения

;

• Закон склеивания

• Закон Порецкого

Формула включений и исключений

ïA È Bï = ïAï + ïBï – ïA Ç Bï

4. Декартово произведение множеств. Соответствие. Пустое соответствие, полное соответствие. Область определения, прообраз (Dom) соответствия. Область значений, образ (Im) соответствия. Всюду определенные и сюръективные соответствия. Образ (im) и прообраз (coim) элемента.

Декартово (прямое) произведение множеств

Упорядоченной парой называется запись вида (a, b), где a — элемент A , а b — элемент B.

Декартово или прямое произведение множеств A и B — A ´ B — множество всех таких упорядоченных пар элементов этих множеств.

Декартовым произведением произвольного числа множеств А1, А2, …, An называется множество

А1 ´ А2 ´…´ An = {(а1, а2, ..., ап) : аi Î Аi, i = 1, 2, ...,n}.

Если А1 = А2 =…= An = А, то А ´ А ´…´ A = An

Соответствие, бинарное отношение между двумя множествами A и B — произвольное подмножество R декартова произведения A ´ B.

Если a Î A, b Î B и (a, b) Î R, то пишут также R(a, b) или aRb. Если R = Æ — пустое множество, то соответствие называется пустым, а если R = A ´ B, то соответствие называется полным.

Пусть R Í A ´ B. Областью определения Dom R называется множество элементов a Î A, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент b ΠB такой, что aRb. Областью значений, или образом, Im R соответствия R называется множество элементов b Î B, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент a Î A такой, что aRb. Соответствие R называется всюду определенным, если Dom R = A, и сюръективным, если Im R = B.

Для каждого a Î A множество элементов b Î B таких, что aRb, называется образом a относительно R и обозначается im R a. Прообразом элемента b Î B относительно R называется множество элементов a Î A таких, что aRb; прообраз обозначается coim R b. Ясно, что Im R = È a Î A im R a, Dom R =  È b Î B coim R b.