54. Функционально полные системы (базисы). Булева алгебра логики. Функциональная полнота системы булевых функций. Примеры других алгебр логики.

Примеры функционально полных систем логических функций:

{o} (Функция Вебба),

{½} (штрих Шеффера);

{,® 0}, { ,® 1},

{ &, ,Å 1}

и другие.

Наиболее изученным является базис {&, Ú, Ø}. Формулы, содержащие кроме переменных и скобок знаки этих функций называются булевыми.

Теорема Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Следствие: система булевых функций функциональна полна.

Алгебра (Р2; &, Ú, Ø), основным множеством которой является множество всех логических функций Р2, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических операций.

Примеры других алгебр логики:

• алгебра Вебба A = áMño ,;

• алгебра Шеффера A = áM, ñ½;

• импликативная алгебра A = áM,® , 0ñ;

• коимпликативная алгебра A = áM,® , 1ñ;

• алгебра Жегалкина A = áM, &, ,Å 1ñ.

55. Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре. Выражение через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание других логических бинарных операций. Двойственность.

• ассоциативностей aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc, aÙ(bÙc)=(aÙb)Ùc;

• коммутативностей aÚb=bÚa, aÙb=bÙa;

• дистрибутивностей aÙ(bÚc)=aÙbÚaÙc; aÚbÙc=(aÚb)Ù(aÚc);

• идемпотентностей aÚa=a, aÙa=a;

• двойного отрицания ØØa=a;

• законы нуля (лжи) aÚ0=a, aÙ0=0, aØÙa=0;

• законы единицы (истины) aÚ1=1, aÙ1=a, aØÚa=1.

• де-Моргана ØaØÚb=Ø(aÙb), ØaØÙb=Ø(aÚb);

• противоречия aØÙа=0;

• исключенного третьего aØÚа=1

Для упрощения формул наряду с основными соотношениями используют также тождества

поглощения aÚaÙb=a, aÙ(aÚb)=a;

склеивания aÙbÚaØÙb=a, (aÚb)Ù(aØÚb)=a;

обобщенное склеивание aÙcÚbØÙcÚaÙb = =aÙcÚbØÙc;

aØÚaÙb = aÚb

Двойственность

Функция f1(x1,…, xn) называется двойственной к функции f2(x1,…, xn), если .

Отношение двойственности между функциями симметрично. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.

Примеры:

дизъюнкция двойственна конъюнкции;

константа 1 двойственна 0;

отрицание самодвойственно;

функция самодвойственна.

Принцип двойственности: если в формуле F, представляющей функцию f, все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных функций, то полученная формула F* будет представлять функцию f*, двойственную к f.

56. Булева алгебра логики. Сднф и днф. Карта Карно. Функциональные схемы как приложение булевых функций.

Формула называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) если она является дизъюнкцией элементарной конъюнкции.

Пример

Формула называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) если она является конъюнкцией элементарной дизъюнкции.

Пример

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций, и все конъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в которые каждая переменная входит только 1 раз.

Пример

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) называется КНФ, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций, и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в которые каждая дизъюнкция входит только 1 раз.

Пример

Любую функцию кроме констант 0 и 1 можно представить в виде как СДНФ, так и СКНФ.

СКНФ и СДНФ строятся по таблице истинности функции.

Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности функции:

1. отметить в таблице строки, где функция равна 1

2. выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение переменной равно 1, то в конъюнкцию входит сама переменная, если равно 0, то в конъюнкцию входит отрицание.

3. все полученные конъюнкции объединить дизъюнкцией.

Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности функции:

1. отметить в таблице строки, где функция равна 1

2. выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение переменной равно 0, то в дизъюнкцию входит сама переменная, если равно 1, то в дизъюнкцию входит отрицание.

3. все полученные конъюнкции объединить конъюнкцией.

Большое значение имеет минимизация ДНФ.

ДНФ называется минимальной, если она содержит наименьшее общее число вхождений переменных по сравнению со всеми равносильными ей ДНФ. Получение минимальной ДНФ из СДНФ путём тождественных преобразований.

Пример получения СДНФ и СКНФ по таблице истинности:

x	y	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

1.СДНФ

функция равна единице во второй и третей строке

составляем конъюнкцию второй строки

составляем конъюнкцию третей строки

объединим полученное дизъюнкцией +

получаем СДНФ = +

2.СКНФ

функция равна нулю в первой и последней строке

составляем дизъюнкцию второй строки

составляем дизъюнкцию второй строки

объединим полученное конъюнкцией ( )( )

получаем СКНФ = ( )( )

Функциональная схема

Конъюнктор (И) Дизъюнктор (ИЛИ) Инвертор (НЕ)

Карта Карно

Пример:

	pq
r		1	1
				1