61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.

Обычно классическое исчисление предикатов строится на основе того или иного варианта исчисления высказываний: аксиомы классического исчисления высказываний считаются схемами аксиом исчисления предикатов, то есть любая предикатная формула, полученная из некоторой аксиомы исчисления высказываний подстановкой в нее каких-либо предикатных формул вместо пропозициональных переменных, объявляется аксиомой исчисления предикатов. Например, из аксиомы исчисления высказываний таким образом получается аксиома исчисления предикатов

.

К этим аксиомам добавляются две новые схемы аксиом:

и ,

где (x) — произвольная предикатная формула, в которой переменная x не находится в области действия кванторов y и y, а формула (y) получена заменой в (x) каждого свободного вхождения переменной x на y.

Правилами вывода исчисления предикатов являются правило модус поненс и следующие два правила:

• — -правило, позволяющее из формулы (   получить формулу (   x , где   и   — произвольные предикатные формулы, причем  не содержит свободную переменную x;

• — -правило, позволяющее при тех же предположениях относительно формул ,  и переменной x перейти от формулы (   к формуле (x   .

Правило модус поненс (правило отделения, правило вывода в формальной логике) означает, что из истинности формулы A (малая посылка) и A  B (большая посылка) следует истинность B.

Выводом формулы  в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул ₁, . . ., _m такая, что каждая из формул _i либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и _m совпадает с . Формула  выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы. Согласно теореме Геделя о полноте, все общезначимые предикатные формулы и только они выводимы в классическом исчислении предикатов.

Дедуктивный аппарат исчисления предикатов, то есть система аксиом и правила вывода, используются при построении логико-математических исчислений (например, формальной арифметики, аксиоматической теории множеств).

62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.

1. Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется формула, имеющая вид

2. Q1x1, Q2x2, …, QnxnF — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, с операциями {&, Ú, Ø}. В логике предикатов для любой формулы существует эквивалентная ей префиксная нормальная форма

Процедура получения ПНФ:

1) Используя формулы

P1 ~ P2 = (P1 ® P2) & (P2 ® P1),

P1 ® P2 = Ø P1 Ú P2

заменить ®, ~ на &, Ú, Ø.

2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов

3) Для формул, содержащих подформулы вида

"xP1(x) Ú "xP2(x), $xP1(x) Ú $xP2(x),

ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения

4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ

63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.

Алфавит и слова

• Алфавит A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т.д.).

• Элементы An называют словами длины n в алфавите A

• Множество всех слов в алфавите A — это множество

• Формальные системы — это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательности символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах); сами операции также являются операциями над символами.

• «Формальный» = объекты и операции рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов.

• Между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.

Принципы построения формальной теории

Всякая точная теория определяется:

• языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории,

• совокупностью теорем — подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.

Аксиоматическая (формальная) теория T считается определенной, если выполнены следующие условия:

1) задано некоторое счетное множество символов — алфавит теории T. Конечные последовательности символов теории называются выражениями теории T;

2) определяется подмножество правильно построенных выражений теории T, называемых формулами теории T — язык теории. Это подмножество задается конструктивными средствами (как правило, индуктивным определением);

3) выделяется некоторое множество формул, называемых аксиомами теории T;

4) задается конечное множество R1, R2, ..., Rn отношений между формулами, называемых правилами вывода. Правило вывода R(F1, …, Fn, G) — это вычислимое отношение на множестве формул. Если формулы F1, …, Fn, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F1, …, Fn по правилу R. формулы F1, …, Fn, называются посылками правила R, а G — его следствием или заключением.

Вывод в T

• Выводом в T формулы B из формул A1, …, An, называется всякая последовательность F1, F2, ..., Fm формул такая, что Fm = B, а для любого i формула Fi есть либо аксиома теории T, либо одна из исходных формул A1, …, An, либо непосредственно выводима из формул F1, …, Fi-1 (или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода.

• Если существует вывод B из A1, …, An, то говорят, что B выводима из A1, …, An. Этот факт обозначается A1, …, An |— B.

• Формулы A1, …, An называются гипотезами или посылками вывода.

• Переход в выводе от Fi-1 к Fi называется i-м шагом вывода.

Разрешимость

• В общем случае может не существовать эффективной процедуры, с помощью которой можно определить по данной формуле, существует ли ее вывод в теории T.

• Формула, для которой такая процедура существует, называется разрешимой в этой теории, в противном случае — неразрешимой. Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм выяснения свойства формулы быть теоремой, для этого требуются все новые и новые озарения (изобретательства), не поддающиеся формализации.

Доказательство

• Доказательством формулы B в теории T называется вывод B из пустого множества формул, т.е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксиомы.

• Формула B, для которой существует доказательство, называется формулой, доказуемой в теории T, или теоремой теории T. Факт доказуемости B обозначается |— B.

• Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости.