43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.

• Взвешенный граф, взвешенный орграф — граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый вес.

• Знаковый граф, знаковый орграф — граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый знак.

• Знак пути, цепи, замкнутого пути, замкнутой цепи, контура, цикла и т.д. определяется как произведение знаков входящих в них дуг или ребер, если знак плюс заменить на +1, а знак минус на –1. Очевидно, что путь, цепь и т.д. имеют знак минус, если число дуг или ребер, содержащихся в них, нечетно, иначе они имеют знак плюс.

• Хейдер изучал задачи из области социологии малых групп людей (Heider F. Attitudes and Cognitive Organization. – J. of Phych., 21, 1946, p. 107-112).

• Его результаты — полный обзор вариантов знаковых графов для группы из трех человек в условиях явно выраженной симпатии / антипатии представлены на рисунках.

IV

Процедура математического моделирования

Математическая модель баланса

• Анализ результатов Хейдера и огромного количества других примеров из самых разных областей человеческой деятельности привел Картрайта и Харари (Cartwright D. and Harary F. Structural Balance: A Generalization of Heider’s Theory. – Psych. Rev., 63, 1956, p. 277-293) к следующей математической модели баланса:

• Малая группа является сбалансированной, если представляющий ее знаковый граф сбалансирован.

• Знаковый граф называется сбалансированным, если каждый цикл в нем положителен.

Слабые места:

• Предположение о симметрии «симпатий»

• Игнорируется «сила» симпатий

• Не разделяются типы несбалансированности

• Нет градаций степени сбалансированности

Интерпретация в области политики

Для пункта d существует интерпретация и в области политики – устойчивым является представительный орган, основанный на одно- или двухпартийной основе (внутри фракции существуют отношения «симпатии», а соответствующие отношения между представителями разных фракций отрицательны). Кемени и Снелл высказали предположение, что многопартийный французский парламент 1950-х годов был несбалансирован именно по причине несоответствия критерию баланса по Харари (Kemeny J.G., Snell J.L. Mathematical Models in the Social Sciences. – New York: Blaisdell Publishing Co., 1962; reprinted by M.I.T. Press, Cambridge, Mass, 1972).

44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).

Для знакового графа G=(V,E) следующие утверждения эквивалентны:

1. Граф G сбалансирован.

2. Каждая замкнутая цепь в G положительна.

3. Любые две цепи между любыми двумя вершинами ui и uj имеют одинаковый знак.

4. Множество вершин V можно разбить на два подмножества A и B так, что каждое положительное ребро соединяет вершины одного подмножества и каждое отрицательное соединяет вершины различных подмножеств.

Последнее утверждение называют также критерием баланса.