6. Инволюция (обращение) соответствий. Объединение, пересечение, дополнение, произведение соответствий.

• Поскольку соответствия между A и B являются подмножествами одного и того же множества A ´ B, можно говорить об их объединении, пересечении и дополнении.

• Операция инволюции, или обращения соответствия: если R Í A ´ B, то инволюция R# состоит из таких пар (b, a), что (a, b) Î R. Иногда вместо R# пишут R–1. Ясно, что R## = R.

• Операция умножения. Если R Í A ´ B, S Í B ´ C, то произведение RS состоит из таких пар (a, c), для которых найдется элемент b Î B такой, что (a, b) Î R, (b, c) Î S. Умножение соответствий ассоциативно и обладает следующими свойствами: если R1 Í R2, то R1S Í R2S; (RS)#  = R#S#.

• Специальные соответствия — отношения тождества, или диагонали, DA, состоящие из всех пар (a, a), a Î A, играют роль единиц для умножения соответствий. Именно, если R Í A ´ B, то DAR = R = RDB.

• Для всякого соответствия R выполнено включение R Í RR#R. Если вместо включения выполняется равенство, то соответствие называется дифункциональным. Соответствие R Í A ´ B называется функциональным, если RR# Ê DA и R#R Í DB. Функциональные соответствия — это в точности графики функций из A в B. Всякое соответствие R представимо в виде R = F#G, где F, G — функциональные соответствия.

7. Функциональные соответствия, их связь с графиками функций.

Соответствие F, заданное на множествах A1, A2, …, An, B называется функциональным, если для любого элемента (a1, a2, …, an) из A1 ´ A2 ´ … ´ An существует не более одного элемента b из B такого, что (a1, a2, …, an, b) Î F. Если такой элемент b из B существует для некоторого (a1, a2, …, an) , то он обозначается F(a1, a2, …, an) и записывается так: b = F(a1, a2, …, an) .

В случае, если Dom(F) = A1 ´ A2 ´ … ´ An , F называется полностью определенным, когда Dom(F) Ì A1 ´ A2 ´ … ´ An — частично определенным или просто частичным.

Соответствие F, заданное на множествах A1, A2, …, An, B называется отображением или функцией из A1 ´ A2 ´ … ´ An в B (F: A1 ´ A2 ´ … ´ An ® B), если F функциональное и полностью определенное. Соответствие F называется частичным отображением или частичной функцией, если F функциональное и частичное. Число n называют арностью функции F.

8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.

• Всякое соответствие R Í A ´ B устанавливает т.н. соответствие Галуа между подмножествами множества A и подмножествами множества B.

• Именно, если X Í A, то через G (X) обозначается пересечение  Ç a Î X im R a;

• Аналогично, для Y Í B вводится множество G–1(Y)= Ç b Î Y coim R b.

• Пусть X* = G–1 (G (X)), Y* = G(G–1(Y)), тогда X Í X*, Y Í Y*;

Из X1 Í X2 следует G (X1) Ê G (X2);

из Y1 Í Y2 следует G–1(Y1) Ê G–1(Y2);

X** = X*; Y** = Y*.

• Подмножество X Í A  (Y Í B) называется замкнутым, если X = X* (Y = Y*). Соответствие Галуа устанавливает биективное соответствие между замкнутыми подмножествами в A и B.

Пример:

Множество А: {Лена, Петя, Маша, Вася, Женя, Эллочка}

Множество B: {Горький, Достоевский, Лермонтов, Некрасов, Пушкин, Толстой, Фет}

Множество R (подмножество множества AxB): (Лена, Некрасов); (Лена, Фет); (Петя, Горький); (Петя, Пушкин); (Петя, Толстой); (Маша, Пушкин); (Маша, Лермонтов);(Вася, Пушкин); (Вася, Достоевский); (Женя, Фет); (Вася, Толстой); (Женя, Горький)

Поставим вопрос об общности интересов. Выберем:

Множество Х: {Маша, Вася}

Множество im R Маша: {Пушкин, Лермонтов}

Множество im R Вася: {Достоевский, Толстой,Пушкин}

Кстати, множество im R Эллочка: Æ

Множество Г(Х) = im R Маша Ç im R Вася: {Пушкин}

Найдем подмножество со сходными интересами:

Множество Х* = Г-1(Г(Х)) = Г-1({Пушкин}) =

coim R Пушкин: {Петя, Маша, Вася}