29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач

Економічну інтерпретацію прямої та двоїстої задач і проведення післяоптимізаційного аналізу розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів.

Для виробництва n видів продукції використовується m видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями . Норми витрат кожного ресурсу на виробництво одиниці продукції становлять . Ціна реалізації одиниці продукції j-го виду дорівнює . Математична модель цієї задачі має такий вигляд:

;(4.1) ;(4.2)

. (4.3)

Сутність прямої задачі полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва різних видів продукції , який дав би змогу одержати найбільшу виручку від її реалізації.

Двоїста задача до сформульованої у такий спосіб прямої буде такою: ;(4.4) ;(4.5) .(4.6)

Економічний зміст двоїстої задачі полягає у визначенні такої оптимальної системи оцінок ресурсів у_і, що використовуються для виробництва продукції, за якої загальна вартість усіх ресурсів була б найменшою. Змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу.

30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції

Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.

Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (с_j), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна х_j = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна х_j > 0.

Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y* у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Аналогічні результати можна дістати, проаналізувавши додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі (§ 4.2). Як з’ясовано вище, значення додаткових змінних показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна. І, навпаки, якщо у_і > 0, то відповідна продукція нерентабельна.

Оптимальні значення у₄ = 5 > 0; у₅ = 5/2 > 0, тому продукція А і В нерентабельна, а у₆ = 0; у₇ = 0, тобто продукція С і D — рентабельна.

Дослідимо питання про доцільність введення нового (n + 1)-го виду продукції, якщо відомі витрати кожного ресурсу на виготов­лення одиниці такої продукції — і ціна її реалізації — . За умови введення у виробництво нового виду продук­ції в економіко-математичну модель (4.7) необхідно ввести відповідну змінну (х_n+1). Отже, модель прямої задачі набуде вигляду:

Відповідна математична модель двоїстої задачі міститиме не n, а (n + 1) нерівність і відрізнятиметься від (4.8) наявністю обмеження, що описує витрати на виробництво нового виду продукції:

(4.9)

Оскільки значення і за умовою задачі відомі, розраховані також значення , то можна перевірити виконання нерівності (4.9). Як зазначено вище, рентабельною є продукція, для якої відповідне обмеження виконується як рівняння, а нерентабельною, якщо ліва частина нерівності (витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції) перевищує праву (ціну реалізації одиниці продукції).

Допустимо, що за умов прикладу 4.1 запропоновано включити у виробництво один з двох видів нової продукції: E чи G. Відомі витрати кожного ресурсу на виготовлення одиниці цих видів продукції, що становлять для продукції виду E відповідно 4, 7, 2 ум. од. та для продукції виду G — 4, 8, 1 ум. од. Ціна реалізації одиниці продукції обох нових видів однакова і дорівнює 4,5 ум. од.

Складемо відповідне обмеження двоїстої задачі. Наступний вид продукції буде позначатися через х₅, тому маємо: