- •2.Математична постановка задачі математичного програмування
- •5. Приклади економічних задач математичного програмування
- •6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування
- •7. Форми запису задач лінійного програмування
- •9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування
- •19. Модифікації симплексного методу*
- •21. Правила побудови двоїстих задач.
- •23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
- •24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
- •27. Двоїстий симплекс метод
- •28. Параметричне програмування
- •29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
- •30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
- •31. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
- •32. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- •33. Аналіз коефіцієнтів матриці обмежень
- •34. Використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
- •35. Економічна і математична постановка транспортної задачі
- •36. Методи побудови опорного плану транспортної задачі.
- •38.Методирозв’язування транспортної задачі
- •Метод мінімальної вартості
- •Метод подвійної переваги
- •39. Задача, двоїста до транспортної
- •42. Транспортна задача з додатковими умовами
- •46. Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині
- •47. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування
- •48. Методи відтинання. Метод Гоморі
- •Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
- •56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •У разі, якщо
- •63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
- •63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
- •66. Метод рекурентних співвідношень
- •Принцип оптимальності
- •68.Багатокроковий процес прийняття рішень
- •76. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)
- •77. Оператор оцінювання 1мнк
- •. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів
- •78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
- •79. Властивості оцінок параметрів
- •1) Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •2) Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •2.4. Тест Глейсера
- •92. Критерій Дарбіна—Уотсона
- •2.2. Критерій фон Неймана
- •93. Метод Ейткена
- •96. Лаги незалежних змінних
- •4.4. Інструментальні змінні
42. Транспортна задача з додатковими умовами
На практиці в задачах, що пов’язані з перевезеннями, часто доводиться враховувати додаткові умови: неможливість здійснення перевезень за окремими маршрутами; необхідність перевезень неоднорідної продукції тощо. Такі умови ускладнюють математичну постановку транспортної задачі та вимагають особливих підходів до її розв’язання.
Розглянемо кілька особливостей відкритих транспортних задач з додатковими умовами.
1. Додаткова умова заборони перевезень від певного постачальника до певного споживача. В такому разі в оптимальному плані відповідні клітини обов’язково мають бути вільними ( ).
Розв’язуючи транспортну задачу з додатковою умовою на заборону окремих постачань, необхідно у відповідних клітинах замінити значення вартостей перевезень одиниці продукції на деяке велике число (ставиться досить велике число М). Оскільки розглянуті вище методи розв’язання транспортних задач уможливлюють організацію перевезень у такий спосіб, що мінімізується загальна вартість витрат на транспортування, то це зумовить виключення з розгляду перевезень з надто великими вартостями, що і забезпечить виконання такої додаткової умови.
2. Додаткова умова перевезення за окремими маршрутами строго визначеного обсягу продукції, тобто виконання обов’язкових постачань. В оптимальному плані відкритої транспортної задачі з такою додатковою умовою клітини відповідних фіктивно введених постачальників чи споживачів мають бути вільними.
Розв’язуючи такого типу транспортну задачу, необхідно у відповідних клітинах також збільшити значення вартостей перевезень (ставиться досить велике число М).
3. Додаткова умова необхідності перевезення від і-го постачальника j-му споживачеві не менше kij одиниць продукції, тобто вводиться додаткове обмеження виду: .
Розв’язуючи транспортну задачу з такою додатковою умовою, необхідно змінити початкові умови: обсяг постачання kij відняти від обсягу запасу і-го постачальника ( ) та від потреби j-го споживача . Знайдений оптимальний план транспортної задачі зі зміненими умовами (де використані значення ) коригується, враховуючи обмеження .
4. Додаткова умова необхідності перевезення від і-го постачальника j-му споживачеві не більше kij одиниць продукції, тобто вводиться додаткове обмеження виду: .
Для виконання такої додаткової умови необхідно в транспортну таблицю j-го споживача записати двічі. Один раз його потреби визначатимуться величиною kij, а другий раз — різницею . Витрати на перевезення одиниці продукції в обох стовпцях повинні бути однаковими за винятком клітини на перетині і-го постачальника і j-го споживача з потребою . У цій клітині ставиться досить велике число М. В такій постановці задача розв’язується відомими методами.
5. На практиці часто потрібно визначити оптимальний план перевезень неоднорідної продукції, тобто розв’язати багатопродуктову задачу. Її математична модель має такий вигляд:
де k — індекс виду продукції, що необхідно перевезти.
Розв’язуючи багатопродуктову транспортну задачу, потрібно заблокувати ті клітини, які зв’язують постачальників і споживачів щодо постачань різної продукції. Таке блокування здійснюється введенням досить високих вартостей перевезень одиниці продукції (великого числа М), але слід зауважити, що наявність заблокованих клітин може призвести до неможливості розв’язання задачі. Тому в такому разі необхідно перевіряти, чи є достатня кількість незаблокованих перевезень для побудови опорного плану задачі, який повинен містити додатну змінну.
43. Нехай задано граф із скінченною кількістю вершин і ребер. Поставимо у відповідність кожній вершині деяке число (і = 1, 2, ..., m), яке назвемо інтенсивністю i-ої вершини, а кожній дузі (іj) — число — пропускну здатність (іj)-ої дуги, відносячи ці величини до певного відрізка часу t (0 < t < ), наприклад, до певної одиниці часу. За цих умов скінченний граф перетворюється в мережу (сіть). Позначимо через невідому величину, що означає обсяг деякої продукції, яку переміщають по (ij)-й дузі за деякий відрізок часу. Тоді для цього самого відрізка часу для кожної k-ої вершини графа можна записати таку балансову рівність:
. (5.42)
Справді, перша сума означає сумарний обсяг певної продукції, що протягом означеного часу прибуває в k-ту вершину по дугах, а друга сума означає сумарний обсяг цієї продукції, що вибуває по дугах з k-ої вершини за той самий час. Отже, є обсягом розглядуваної продукції, який споживається (акумулюється) в k-ій вершині, а є обсягом цієї продукції, який виділяється (продукується) вершиною за згаданий відрізок часу. Вершину, для якої , називатимемо стоком, а вершину, для якої — джерелом. Вершини, в яких , назвемо нейтральними.
Природно вважати змінні і невід’ємними і обмеженими зверху числами і , так що:
. (5.43)
У свою чергу, можна вважати, що величини і можуть змінюватися в таких межах:
. (5.44)
Рівняння (5.42) можна трактувати як рівняння безперервності потоку розглядуваної продукції по певній мережі (доріг, трубопроводів і т. п.) в деякому околі k-ої вершини (пункту). Прикладом може бути рівняння збереження кількості рідини, що проходить по трубопровідній мережі.
Можна поставити вимогу, щоб за заданих величин інтенсивностей джерел та стоків і величин пропускних здатностей дуг знайдені значення невідомих задовольняли деякий критерій оптимальності, наприклад, надавали мінімального значення лінійній функції:
.(5.45)
Легко помітити, що сформульована сітьова транспортна задача (5.42)—(5.45) є узагальненням звичайної транспортної задачі (5.1)—(5.4) за умови наявності проміжних пунктів перевезень і обмежених пропускних здатностей шляхів сполучення.
44. Приклади економічних задач, що зводяться до транспортних моделей*
Транспортна задача часто використовується для розв’язання економічних задач, які за умовою не мають нічого спільного з транспортуваннями вантажів, і величини можуть залежно від конкретної задачі означати відстань, час, продуктивність тощо. Наведемо постановку найтиповіших економічних задач, що зводяться до транспортної моделі.
Оптимальний розподіл обладнання. Домовимося для спрощення, що розглядається модель закритої транспортної задачі (будь-яка відкрита задача зводиться до закритої перетвореннями, розглянутими в § 5.5).
Обладнання m різних видів необхідно розподілити між n виробничими дільницями. Продуктивність одиниці обладнання i-го виду на j-ій виробничій дільниці дорівнює , . Відомі потреби кожної j-ої дільниці в обладнанні, що становлять , а також запаси обладнання кожного i-го виду — . Необхідно знайти оптимальний розподіл обладнання за виробничими дільницями, за якого сумарна продуктивність виробництва буде максимальною.
Ця задача зводиться до транспортної за умови, що продуктивність лінійно залежить від кількості застосовуваного обладнання. «Постачальниками» в задачі є види обладнання, а «споживачами» — виробничі дільниці. Запаси постачальників — це наявна кількість обладнання кожного виду, а потреби споживачів — вимоги на необхідну кількість обладнання для кожної виробничої дільниці.
Нехай — кількість одиниць обладнання i-го виду, яку буде виділено j-ій виробничій дільниці . Сумарна продуктивність виробництва визначатиметься за формулою: . Оскільки запаси кожного типу обладнання обмежені, то маємо: , . З другого боку, потреби кожної дільниці в обладнанні є також фіксованими, тому: , . Отже, загалом ми маємо таку математичну модель транспортної задачі:
max
У даній задачі необхідно максимізувати значення цільової функції F. Для переходу до стандартної моделі транспортної задачі слід замінити функцію F на протилежну функцію , яку необхідно мінімізувати:
.
Розв’язуючи цю задачу, будемо використовувати взяті з протилежними знаками значення продуктивностей . Розв’язок можна відшукати одним з відомих методів.
45. Економічна і математична постановка цілочислової задачі лінійного програмування
Існує доволі широке коло задач математичного програмування, в економіко-математичних моделях яких одна або кілька змінних мають набувати цілих значень. Наприклад, коли йдеться про кількість верстатів у цеху, тварин у сільськогосподарських підприємствах тощо.
Зустрічаються також задачі, які з першого погляду не мають нічого спільного з цілочисловими моделями, проте формулюються як задачі цілочислового програмування. Вимоги дискретності змінних в явній чи неявній формах притаманні таким практичним задачам, як вибір послідовності виробничих процесів; календарне планування роботи підприємства; планування та забезпечення матеріально-технічного постачання, розміщення підприємств, розподіл капіталовкладень, планування використання обладнання тощо.
Задача математичного програмування, змінні якої мають набувати цілих значень, називається задачею цілочислового програмування. У тому разі, коли цілочислових значень мають набувати не всі, а одна чи кілька змінних, задача називається частково цілочисловою.
До цілочислового програмування належать також ті задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень: 0 або 1 (бульові, або бінарні змінні).
Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. У даному розділі розглянемо задачі математичного програмування, в яких крім умови цілочисловості всі обмеження та цільова функція є лінійними, що мають назву цілочислових задач лінійного програмування.
Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так:
(6.1)
за умов:
; (6.2)
; (6.3)
— цілі числа . (6.4)
Слід зазначити, що у розглянутих в попередньому розділі класичній транспортній задачі та інших задачах транспортного типу (в задачах про призначення, про найкоротший шлях тощо) з цілочисловими параметрами початкових умов забезпечується цілочисловий розв’язок без застосування спеціальних методів, однак у загальному випадку вимога цілочисловості змінних значно ускладнює розв’язування задач математичного програмування.