- •2.Математична постановка задачі математичного програмування
- •5. Приклади економічних задач математичного програмування
- •6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування
- •7. Форми запису задач лінійного програмування
- •9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування
- •19. Модифікації симплексного методу*
- •21. Правила побудови двоїстих задач.
- •23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
- •24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
- •27. Двоїстий симплекс метод
- •28. Параметричне програмування
- •29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
- •30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
- •31. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
- •32. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- •33. Аналіз коефіцієнтів матриці обмежень
- •34. Використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
- •35. Економічна і математична постановка транспортної задачі
- •36. Методи побудови опорного плану транспортної задачі.
- •38.Методирозв’язування транспортної задачі
- •Метод мінімальної вартості
- •Метод подвійної переваги
- •39. Задача, двоїста до транспортної
- •42. Транспортна задача з додатковими умовами
- •46. Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині
- •47. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування
- •48. Методи відтинання. Метод Гоморі
- •Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
- •56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •У разі, якщо
- •63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
- •63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
- •66. Метод рекурентних співвідношень
- •Принцип оптимальності
- •68.Багатокроковий процес прийняття рішень
- •76. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)
- •77. Оператор оцінювання 1мнк
- •. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів
- •78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
- •79. Властивості оцінок параметрів
- •1) Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •2) Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •2.4. Тест Глейсера
- •92. Критерій Дарбіна—Уотсона
- •2.2. Критерій фон Неймана
- •93. Метод Ейткена
- •96. Лаги незалежних змінних
- •4.4. Інструментальні змінні
Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
(8.1)
за умов:
( ); (8.2)
. (8.3)
Якщо всі функції та , є лінійними, то це задача лінійного програмування, інакше (якщо хоча б одна з функцій є нелінійною) маємо задачу нелінійного програмування.
56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
Геометрично цільова функція визначає деяку поверхню, а обмеження
.— допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.
Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.
Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.
57. Розглянемо основні труднощі розв’язування нелінійних задач.
Для лінійних задач можна завжди знайти оптимальний розв’язок універсальним методом — симплексним. При цьому не існує проблеми стосовно доведення існування такого розв’язку, тобто в результаті застосування алгоритму симплексного методу завжди отримують один з таких варіантів відповіді:
а) отримали оптимальний розв’язок;
б) умови задачі суперечливі, тобто розв’язку не існує;
в) цільова функція необмежена, тобто розв’язку також не існує.
Для задач нелінійного програмування не існує універсального методу розв’язання, що зумовило розроблення значної кількості різних методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування. Для кожного специфічного методу необхідно доводити існування розв’язку задачі та його єдиність, що також є досить складною математичною задачею.
Відомі точні методи розв’язування нелінійних задач, але в такому разі існують труднощі обчислювального характеру, тобто навіть для сучасних ЕОМ такі алгоритми є досить трудомісткими, тому здебільшого для розв’язування нелінійних задач виправданим є застосування наближених методів.
Для задач лінійного програмування доведено наявність єдиного екстремуму, що досягається в одній (або кількох одночасно) з вершин багатогранника допустимих розв’язків задачі. Однак у задачах нелінійного програмування існують кілька локальних оптимумів, що потребує пошуку серед них глобального.
На рис. 8.4 маємо на відрізку, що зображений, локальні оптимуми у точках глобальний — у точках та .
Більшість наближених методів уможливлюють, як правило, знаходження локального оптимуму. Можна, звичайно, користуючись простим способом, визначити всі локальні оптимуми, а потім їх зіставленням знайти глобальний. Однак для практичних розрахунків такий метод є неефективним. Часто глобальний оптимум наближені методи «не уловлюють». Наприклад, у разі, коли глобальний оптимум знаходиться досить близько біля локального. Якщо відрізок поділити на десять підвідрізків і глобальний оптимум попаде у відрізок (рис. 8.4), а зліва від та справа від крива буде зростати, то глобальний оптимум буде пропущеним.
У задачах лінійного програмування точка оптимуму завжди була граничною точкою багатогранника допустимих планів. Для нелінійних задач точка, яка визначає оптимальний план, може бути як граничною, так і знаходитися всередині допустимої області розв’язків (планів), що було проілюстровано в прикладі 8.1.
Доведено, що множина допустимих планів задачі лінійного програмування завжди є опуклою. У разі, коли система обмежень задачі є нелінійною, вона може визначати множину допустимих розв’язків як неопуклу, або навіть складатися з довільних, не зв’язаних між собою частин
58. для розв’язування задач нелінійного програмування не існує універсального методу, тобто до них необхідно застосовувати широке коло різних методів і обчислювальних алгоритмів. Вони в основному базуються на застосуванні диференційного числення і залежать від конкретної постановки задачі та форми економіко-математичної моделі.
Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні початкової задачі простішою. Для цього цільову функцію замінюють іншою, з більшою кількістю змінних, тобто такою, яка включає в себе умови, що подані як обмеження. Після такого перетворення дальше розв’язування задачі полягає в знаходженні екстремуму нової функції, на змінні якої не накладено ніяких обмежень. Тобто від початкової задачі пошуку умовного екстремуму переходимо до задачі відшукання безумовного екстремального значення іншої функції. Отже, завдяки такому перетворенню можливе застосування методів класичного знаходження екстремуму функції кількох змінних.
Розглянемо метод множників Лагранжа для розв’язування задачі нелінійного програмування, що має вигляд:
(8.6)
за умов:
, (8.7)
де функції і мають бути диференційовними.
Задача (8.6), (8.7) полягає в знаходженні екстремуму функції за умов виконання обмежень .
Переходимо до задачі пошуку безумовного екстремуму. В літературі [13, 28] теоретично доведено, що постановки та розв’язання таких задач еквівалентні.
Замінюємо цільову функцію (8.6) на складнішу. Ця функція називається функцією Лагранжа і має такий вигляд:
(8.8)
де — деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа.
Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
(8.9)
Друга група рівнянь системи (8.9) забезпечує виконання умов (8.7) початкової задачі нелінійного програмування.
Система (8.9), як правило, нелінійна.
Розв’язками її є і — стаціонарні точки. Оскільки, ці розв’язки отримані з необхідної умови екстремуму, то вони визначають максимум, мінімум задачі (8.6), (8.7) або можуть бути точками перегину (сідловими точками).
59. Умовний та бузумовний екстремуми функції.
У теорії дослідження функцій задача на відшукання екстремальних значень не містить ніяких додаткових умов щодо змінних і такі задачі належать до задач відшукання безумовного екстремуму функції. Локальний та глобальний екстремуми тоді визначаються з необхідних та достатніх умов існування екстремуму функції.
Нагадаємо, що необхідна умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб точка була точкою локального екстремуму, необхідно, щоб функція була неперервною і диференційовною в околі цієї точки і перші частинні похідні за змінними та у цій точці дорівнювали нулю:
.
Точка називається критичною.
Достатня умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб критична точка була точкою локального екстремуму, достатньо, щоб функція була визначена в околі критичної точки та мала в цій точці неперервні частинні похідні другого порядку.
Тоді, якщо
,
то в точці функція має екстремум, причому, якщо
,
тоді — точка локального максимуму функції , а якщо
,
тоді — точка локального мінімуму функції .