19. Модифікації симплексного методу*

Симплексний метод є ефективною, досить простою процедурою, проте не позбавленою деяких недоліків. Цей факт пояснює численні спроби модифікування симплексного методу, які можна зустріти в літературі, наприклад [31].

Хоча теоретична основа симплексного методу гарантує збіжність до оптимального розв’язку за скінченну кількість кроків, але труднощі обчислювального характеру, що виникають внаслідок помилок округлення в процесі машинних розрахунків, у цьому методі не враховані. Такі проблеми зустрічаються передусім тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як  М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення, що зумовлена операціями над групою чисел, яка містить як дуже великі, так і відносно малі числа. Розглянемо задачу (2.60)—(2.61).

Зазначена загроза зменшується розбиттям процесу розв’язування задачі на два етапи. На першому етапі розв’язується задача виду:

за обмежень:

де – штучні змінні.

Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде . Отже, при початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних. На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться Х₀, і процес продовжується за звичайним алгорит­мом симплексного методу. Завдяки поділу розв’язування задачі на два етапи на кожному з них у процесі обчислень використовуються майже однакові за значеннями числа. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції, проте на другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають М, не розглядаються.

Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі , то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її система обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу.

Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію. Однак навіть за умови, що така ситуація не склалася, тобто задача не містить штучних змінних, проблеми обчислювального характеру залишаються. Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі. Розглянемо приклад, в якому помилки округлення пов’язані з визначенням умов допустимості розв’язку. Допустимо, що точне значення деякої базисної змінної , вибрано деякий напрямний вектор і в цьому векторі єдина невід’ємна компонента, що відповідає і-ій (нульовій) базисній змінній, також дорівнює нулю. Тоді вектор вводити до базису не можна. Однак, унаслідок помилки округлення можлива ситуація, коли розраховане значення базисного век­тора , а значення коефіцієнта, що відповідає і-ій базисній змінній та j-му вектору в симплексній таблиці — . Тоді вектор буде вибрано для введення до базису. З метою зменшення впливу помилок округлення був розроблений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса.

20. Економічну інтерпретацію двоїстої задачі розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів.

Для виробництва n видів продукції використовується m видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями . Норма вит­рат кожного ресурсу на одиницю продукції становить . Ціна одиниці продукції j-го виду дорівнює . Математична модель задачі має такий вигляд:

; ; .

Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції , який дає найбільший дохід.

Двоїста задача до поставленої прямої буде така:

; .

Економічний зміст двоїстої задачі полягає ось у чому. Визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів у_і, використовуваних для виробництва продукції, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. Оскільки змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу, їх інколи ще називають тіньовою ціною відповідного ресурсу.

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виготовляється.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо двоїста оцінка у_і в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка у_і > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. У цьому разі величина двоїстої оцінки показує, на скільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Аналіз рентабельності продукції, що виготовляється, виконується за допомогою двоїстих оцінок і обмежень двоїстої задачі. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю всіх ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (с_j), виготовляти продукцію не вигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна х_j = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна х_j > 0.

Економічна інтерпретація двоїстих задач та аналіз економіко-математичних моделей на чутливість за допомогою теорії двоїстості дають змогу модифікувати оптимальний план задачі лінійного програмування відповідно до змін умов прямої задачі й дістати при цьому такі результати.