У разі, якщо

,

то в точці функція екстремуму не має.

Якщо

,

то питання про існування екстремуму залишається відкритим.

Якщо задача полягає у відшуканні локального чи глобального екстремуму деякої функції за умови, що на змінні такої функції накладаються додаткові обмеження, то маємо задачу пошуку умовного екстремуму функції. Термін «умовний» означає, що змінні задачі мають задовольняти деякі умови.

Розглянемо таку задачу для випадку двох змінних:

знайти (8.4)

за умови, що . (8.5)

Найпростіший спосіб розв’язання задачі такого виду полягає в тому, що спочатку з обмеження (8.5) знаходять вираз однієї змінної через іншу. Приміром, визначають через . Отриманий вираз виду підставляють у функцію (8.4), що після цього стає функцією однієї змінної , і далі знаходять її безумовний екстремум.

Якщо деяка точка є точкою екстремуму функції , то точка є точкою умовного екстремуму функції (8.4) за умови (8.5).

60.Теорема Куна—Таккера. Теорема Куна—Таккера дає змогу встановити типи задач, для яких на множині допустимих розв’язків існує лише один глобальний екстремум зумовленого типу. Вона тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.

Теорема 8.1. (Теорема Куна—Таккера). Вектор Х^* є оптимальним розв’язком задачі (8.22)—(8.24) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх точка є сідловою точкою функції Лагранжа

,

і функція мети для всіх угнута, а функції — опуклі.

61.Опуклі й вигнуті функції. Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rⁿ. Функція , що задана на опуклій множині , називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення:

.

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою.

Функція , яка задана на опуклій множині , називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-якого справджується співвідношення:

.

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго угнутою.

Слід зазначити, що опуклість та угнутість функції визначаються лише відносно опуклих множин у , оскільки за наведеними означеннями разом з двома будь-якими точками та множині X належать також точки їх лінійної комбінації: для всіх значень , що можливо лише у разі, коли множина X є опуклою.

Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.

Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:

, (8.31)

, ; (8.32)

,(8.33)

де , — угнуті функції.

Оптимальний план задачі опуклого програмування:

Теорема. Якщо задано задачу нелінійного програмування виду (8.31)—(8.33), де функції диференційовні і вгнуті по Х, то для того, щоб вектор був розв’язком цієї задачі, необхідно і достатньо, щоб існував такий вектор , що пара ( , ) була б сідловою точкою функції Лагранжа, тобто щоб виконувалися умови:

(І)  , ; (8.38)

(ІІ)  , ; (8.39)

(ІІІ)  , ; (8.40)

62.Квадратичне програмування.Окремою частиною задач опуклого програмування є задачі квадратичного програмування. До них належать задачі, які мають лінійні обмеження, а функціонал являє собою суму лінійної і квадратичної функцій:

Квадратична функція n змінних називається квадратичною формою і може бути подана у вигляді:

,

де , , ,

причому матриця С завжди симетрична, тобто для всіх .

Квадратична форма Z(X) називається від’ємно означеною, якщо для всіх Х, крім Х = 0, значення Z(X) < 0 (якщо Z(X) ≤ 0, то маємо від’ємно напівозначену квадратичну форму), у протилежному разі Z(X) є додатно означеною (якщо Z(X) ≥ 0, то маємо додатно напівозначену квадратичну форму).

Квадратична форма Z(X) називається неозначеною, якщо вона додатна для одних значень Х і від’ємна для інших.