- •2.Математична постановка задачі математичного програмування
- •5. Приклади економічних задач математичного програмування
- •6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування
- •7. Форми запису задач лінійного програмування
- •9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування
- •19. Модифікації симплексного методу*
- •21. Правила побудови двоїстих задач.
- •23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
- •24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
- •27. Двоїстий симплекс метод
- •28. Параметричне програмування
- •29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
- •30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
- •31. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
- •32. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- •33. Аналіз коефіцієнтів матриці обмежень
- •34. Використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
- •35. Економічна і математична постановка транспортної задачі
- •36. Методи побудови опорного плану транспортної задачі.
- •38.Методирозв’язування транспортної задачі
- •Метод мінімальної вартості
- •Метод подвійної переваги
- •39. Задача, двоїста до транспортної
- •42. Транспортна задача з додатковими умовами
- •46. Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині
- •47. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування
- •48. Методи відтинання. Метод Гоморі
- •Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
- •56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •У разі, якщо
- •63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
- •63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
- •66. Метод рекурентних співвідношень
- •Принцип оптимальності
- •68.Багатокроковий процес прийняття рішень
- •76. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)
- •77. Оператор оцінювання 1мнк
- •. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів
- •78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
- •79. Властивості оцінок параметрів
- •1) Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •2) Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •2.4. Тест Глейсера
- •92. Критерій Дарбіна—Уотсона
- •2.2. Критерій фон Неймана
- •93. Метод Ейткена
- •96. Лаги незалежних змінних
- •4.4. Інструментальні змінні
78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
Для того щоб оцінити вірогідність економетричної моделі, потрібно насамперед мати дисперсію залишків . Оцінюючи параметри моделі методом 1МНК, ми висунули гіпотезу про те, що дисперсія залишків є незмінною для всіх спостережень. Знайдемо її значення.
Фактичні значення залежної змінної згідно з моделлю (2.17) можна подати так:
Yi = a0 + a1Xi + ui . (2.23)
Запишемо цю модель для середніх значень, знайдених на підставі спостережень:
(2.24)
Віднімемо співвідношення (2.24) від (2.23):
Замінивши , , дістанемо:
Оскільки для розрахункових значень залежної змінної, то залишки можна подати так:
Величина залишків в даному разі визначає відхилення розрахункового значення залежної змінної від фактичного за умови, що всі змінні моделі ( і ) взяті як відхилення від свого середнього значення.
Сума квадратів залишків визначатиметься у вигляді
Знайдемо математичне сподівання для кожної складової правої частини суми квадратів залишків:
1) ;
2) ;
3)
Остаточно маємо:
Звідси
де — незміщена оцінка істинного значення .
Досі ми не робили інших припущень про розподіл залишків ui, крім того, що середнє значення його дорівнює нулю, дисперсія є сталою і коваріації також дорівнюють нулю:
Yi = a0 + a1Xi + ui , (2.25)
M(ui) = 0;
У (2.25) параметри a0, a1 і були невідомими, і згідно з методом 1МНК спочатку знайдено оцінки параметрів і , а далі на підставі залишків ui обчислено їх дисперсію .
Якщо задати певну функцію закону розподілу залишків, то, скориставшись методом максимальної правдоподібності, можна одночасно знайти оцінку всіх трьох параметрів a0, a1 і .
Нехай залишки розподілені за нормальним законом. тоді функція правдоподібності подається у вигляді
Оскільки співвідношення Yi = a0 + a1Xi + ui задає лінійне перетворення залишків ui в Yi , де , то функція правдоподібності буде така:
і
Дана функція містить невідомі параметри , , . Тильда “~” над оцінками цих параметрів відрізняє їх від оцінок , , і , знайдених методом 1МНК, а також від істинних значень параметрів a0, a1 і .
Продиференціюємо цю функцію за невідомими параметрами , , , тобто знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
Після елементарних перетворень система рівнянь запишеться так:
(2.26)
Порівнюючи систему (2.26) із системою (2.19), здобутою за методом 1МНК, бачимо, що перші два рівняння (2.26) такі самі, як рівняння системи (2.19), а третє рівняння системи (2.26) дає формулу оцінки дисперсії залишків.
У даному разі неважко переконатись, що оцінки параметрів і за методом максимальної правдоподібності повністю збігаються з оцінками 1МНК.
Отже, якщо параметри моделі і є лінійними функціями від залишків ui, які задовольняють багатовимірний нормальний розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної правдоподібності збігаються. Тому оцінки і також є нормально розподіленими, і математичним сподіванням їх є параметри a0 і a1. З третього рівняння системи (2.26) маємо:
.
Параметр, який характеризує співвідношення між невідомою оцінкою дисперсії згідно з методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії, запишеться у вигляді:
.
Він має розподіл з n – 2 ступенями свободи і розподілений незалежно від і . Пізніше ми звернемося до параметра , коли йтиметься про існування довірчих інтервалів для параметрів моделі.