- •2.Математична постановка задачі математичного програмування
- •5. Приклади економічних задач математичного програмування
- •6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування
- •7. Форми запису задач лінійного програмування
- •9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування
- •19. Модифікації симплексного методу*
- •21. Правила побудови двоїстих задач.
- •23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
- •24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
- •27. Двоїстий симплекс метод
- •28. Параметричне програмування
- •29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
- •30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
- •31. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
- •32. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- •33. Аналіз коефіцієнтів матриці обмежень
- •34. Використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
- •35. Економічна і математична постановка транспортної задачі
- •36. Методи побудови опорного плану транспортної задачі.
- •38.Методирозв’язування транспортної задачі
- •Метод мінімальної вартості
- •Метод подвійної переваги
- •39. Задача, двоїста до транспортної
- •42. Транспортна задача з додатковими умовами
- •46. Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині
- •47. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування
- •48. Методи відтинання. Метод Гоморі
- •Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
- •56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •У разі, якщо
- •63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
- •63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
- •66. Метод рекурентних співвідношень
- •Принцип оптимальності
- •68.Багатокроковий процес прийняття рішень
- •76. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)
- •77. Оператор оцінювання 1мнк
- •. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів
- •78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
- •79. Властивості оцінок параметрів
- •1) Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •2) Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •2.4. Тест Глейсера
- •92. Критерій Дарбіна—Уотсона
- •2.2. Критерій фон Неймана
- •93. Метод Ейткена
- •96. Лаги незалежних змінних
- •4.4. Інструментальні змінні
23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
Післяоптимізаційний аналіз задачі лінійного програмування, особливо для прикладних досліджень, є не менш важливою частиною лінійного програмування, ніж знаходження оптимального розв’язку задачі. Тому важливим є питання визначення діапазону стійкості оптимальних планів прямої та двоїстої задач. У даному розділі буде розглянуто вплив змін параметрів задачі, в межах яких структура оптимального плану залишається постійною, а також методи визначення ступеня змін значень оптимального плану, якщо його структура порушується.
Розглянемо задачу лінійного програмування
(3.36)
(3.37)
(3.38)
для якої знайдено оптимальний план. Остання симплексна таблиця має вигляд (табл. 3.2). Не обмежуючи загальності, можна вважати, що базис утворюють перші m векторів.
Розглянемо вплив на оптимальний план задачі зміни таких параметрів, як компоненти вектора обмежень ; коефіцієнти цільової функції ; коефіцієнти матриці системи обмежень (3.37) — .
24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
А. Розглянемо випадок, коли додаткова змінна в оптимальному плані небазисна і дорівнює нулю.
З першої теореми двоїстості відомо, що оптимальний план прямої задачі (як і кожен поточний опорний план)
— оптимальний план задачі (3.36)—(3.38); В — вектор, що складається з вільних членів системи обмежень в останній симплексній таблиці.
Отже, якщо змінюються компоненти вектора В, то змінюються також значення . Однак існує діапазон, у межах якого всі компоненти залишаються невід’ємними, тобто структура оптимального плану не змінюється.
, (3.42)
де dk — (добуток матриці D–1 на одиничний вектор ek) k-ий стовпчик матриці D–1.
Позначимо елементи k-го стовпчика матриці через ,тоді: або
Оскільки необхідно, щоб план також був оптимальним, має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент даного вектора, отже,
(3.43)
Звідси:
. (3.44)
Тоді нижньою та верхньою границями зміни значення bk відповідно будуть: ;
Якщо не існує жодного для , то , а якщо не існує ні одного для , то .
В. Розглянемо випадок, коли додаткова змінна — базисна.
Якщо додаткова змінна xn+k базисна, то це означає, що у виразі (3.42) dk –одиничний вектор з k-ою компонентою, рівною одиниці, отже, система нерівностей (3.43) перетвориться в таку:
Очевидно, що значення додаткової базисної змінної визначає діапазон змін, в якому відповідна компонента bk може зменшуватись (збільшуватись для обмежень типу «≥»).
Оптимальний план залишається незмінним у діапазоні bk + Δbk для тих ,
Для задачі знаходження мінімального значення цільової функції та обмежень системи (3.37) типу «≥» можливі зміни компонент правої частини системи обмежень визначаються з нерівності:
де, . (3.46)
С. Якщо компоненти вектора вільних членів системи обмежень задачі лінійного програмування змінюються водночас для кількох чи всіх значень , то визначення границь можливих змін величин стає надто складною проблемою. Однак у такому разі завжди можна перевірити, чи задовольняють конкретні зміни величин систему виду:
,
де Е — одинична матриця. Якщо позначити елементи матриці через , тоді:
або .
Оскільки необхідно, щоб план також був оптимальним, має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент вектора, отже:
,
тобто:
(3.47)
D. Для двох значень , що задовольняють систему (3.47), причому за оптимальним планом обмеження, що відповідають , у системі (3.37) виконуються як рівняння, можна визначити норму заміщення, що показує, наскільки необхідно збільшити (зменшити) величину за зменшення (збільшення) , щоб значення цільової функції залишилось незмінним.
З третьої теореми двоїстості відомо, що за малих значень , тобто за таких значень приросту, які не змінюють значення двоїстих оцінок, а отже, задовольняють систему (3.47), виконується рівняння: , або
. Нехай величина br змінилась на Δbr. Визначимо, як необхідно змінити bs, щоб значення цільової функції залишилось тим самим. Зміна br означає, що , аналогічно за зміни на маємо: . Аби значення функціонала залишалось незмінним, необхідно, щоб
.
25. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів цільової функції
Розглянемо задачу лінійного програмування (3.36)—(3.38). Допустимо, що коефіцієнт цільової функції при деякій k-ій змінній з початковим значенням змінився на величину . Отже, цільова функція (3.36) набуде вигляду:
, (3.49)
де С, Х — відповідно вектор компонент цільової функції та вектор змінних, ek — одиничний вектор-рядок, де одиниця відповідає k-ій компоненті.
Дослідимо питання визначення границь можливих змін коефіцієнтів цільової функції, в межах яких структура оптимального плану залишається постійною.
А. Перший випадок — коефіцієнт ck відповідає базисній змінній оптимального плану. За припущенням базисними змінними оптимального плану є перші m векторів останньої симплексної таблиці, отже, .
Зміни коефіцієнтів цільової функції в процесі реалізації симплексного методу впливатимуть лише на значення оцінкового ряду ( ).
Для оптимального плану задачі (3.36)—(3.38), як відомо з § 2.7.4, оцінки векторів розраховують так:
.
Якщо цільова функція має вигляд (3.49), то оцінки векторів розраховуватимуться за формулою:
,
де аkj — елементи вектора-рядка, який є результатом множення ek на Х.
Отже, у разі зміни коефіцієнтів цільової функції, що відповідають базисним змінним, діапазон стійкості оптимального плану визначається з (3.50):
. (3.51)
Тоді нижньою та верхньою границями змін значення сk відповідно будуть:
; .
Якщо не існує жодного для , то , а якщо не існує ні одного для , то . Отже, за змін сk, що відповідає базисній змінній, в інтервалі , якщо , структура оптимального плану задачі (3.36)—(3.38) залишиться тією самою.
В. Другий випадок — змінюється коефіцієнт цільової функції при небазисній змінній.
Зміна коефіцієнта цільової функції небазисної змінної впливає на оцінку лише цієї змінної. Допустимо, що це коефіцієнт і за припущенням у даній задачі . Нехай цей коефіцієнт зміниться на величину . Тоді для задачі з цільовою функцією (3.49) в останній симплексній таблиці зміниться лише одна оцінка, що відповідає небазисній змінній : , де — оцінка вектора при змінній задачі (3.36)—(3.38). Дана оцінка має бути невід’ємною, отже: .
Для небазисної змінної діапазон стійкості оптимального плану визначається нерівністю:
.Тобто для коефіцієнтів цільової функції при небазисних змінних існує лише верхня межа зміни діапазону . С. Якщо коефіцієнти при змінних цільової функції (3.36) задачі лінійного програмування водночас змінюються для кількох чи всіх значень , то визначення границь можливих змін величин здійснюється аналогічно випадку (А).
Для того, щоб план задачі з цільовою функцією, в якій одночасно змінюються кілька чи всі значення , та системою обмежень (3.37), (3.38) також був оптимальним, має виконуватися умова, аналогічна (3.50):
(3.53) Економічний зміст нерівностей (3.51), (3.52), (3.53) полягає в тому, що вони визначають границі можливих змін цін (собівартості, прибутку) одиниць кожного виду продукції, в межах яких визначена оптимальним планом структура виробництва продукції залишається незмінною.
26. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів матриці обмежень
Розглянемо випадок змін лише тих коефіцієнтів, що відповідають небазисним змінним, оскільки зміна значень коефіцієнтів матриці обмежень, що відповідають базисним змінним, приводить до зміни базисної матриці D, і здійснити такий аналіз досить складно.
Розглянемо k-ту небазисну змінну ( ) і відповідний їй стовпчик з компонентами . Якщо деяка l-та компонента( ) (чи кілька компонент) даного вектора зміниться на величину , то за алгоритмом симплексного методу це приведе до зміни значення оцінки відповідного вектора — .
Для оптимального плану задачі (3.36)—(3.38), як відомо з § 2.7.4, оцінки векторів розраховують так:
, (3.54)
або якщо , маємо: .
Позначимо через k-й вектор-стовпчик матриці системи обмежень, що відповідає k-ій небазисній змінній. Нехай для деякого k виконується рівність:
.(3.55) Розрахуємо значення оцінки вектора , підставляючи в (3.54) нові значення :
.(3.56) Для того, щоб план нової задачі також був оптимальним, має виконуватися умова: . (3.57) Отже, розв’язок залишається оптимальним у такому діапазоні змін :
, якщо ; (3.58) , якщо . (3.59) Економічний зміст нерівностей (3.58), (3.59) полягає в тому, що вони дають змогу визначати межі можливих змін норм витрат ресурсів на виробництво одиниці продукції, в яких оптимальна структура виробництва продукції залишається незмінною. Розглянутий випадок стосується зміни коефіцієнтів аij для тих видів продукції, виробництво яких за оптимальним планом є недоцільним. З першого погляду здається, що таке дослідження є беззмістовним. Однак виконані розрахунки містять додаткову інформацію, яку можна використати для прийняття управлінських рішень у виробництві, приміром визначити, у який спосіб необхідно змінити норми використання ресурсів на виготовлення одиниці нерентабельної продукції для зміни асортименту виробництва.