Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Polnye_shpory_s_EMM.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
6.27 Mб
Скачать

92. Критерій Дарбіна—Уотсона

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

(2.1)

Він може приймати значення з проміжку

Якщо залишки є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При додатній автокореляції DW<2, при від'ємній — DW>2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень п і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості . Табличні значення мають нижню межу і верхню — DW2.

Коли DWфакт <DW , то залишки мають автокореляцію. Якщо DWфакт > DW2, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW <DW< DW2, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, беручи більшу сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

2.2. Критерій фон Неймана

Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана:

(2.2)

Звідси Q=DW . При п Q=DW. Фактичне значення критерію

фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і заданого числа спостережень. Якщо Qфакт < Qтабл , то існує додатна автокореляція.

Нециклічний коефіцієнт автокореляції

Цей коефіцієнт виражає ступінь взаємозв'язку залишків кожного наступного значення з попереднім, а саме:

І ряд— ;

II ряд— и234u .

Він обчислюється за формулою:

(2.3)

Коефіцієнт г* може набувати значень в інтервалі (-1;+1). Від'ємні значення його свідчать про від'ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції, тобто стверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції залишків. Оскільки ймовірнісний розподіл г* встановити трудно, то на практиці замість г* обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції r°.

Циклічний коефіцієнт автокореляції

Він виражає ступінь взаємозв'язку рядів:

І ряд ;

II ряд—

Циклічний коефіцієнт обчислюється за формулою:

(2.4)

Фактично обчислене значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду п. Якщо rфакт>rта6л, то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати у вигляді

(2.5)

На практиці часто замість (2.5) обчислюють

(2.6)

93. Метод Ейткена

Нехай в економетричній моделі

У результаті дістанемо таку економетричну модель:

.

Раніше було розглянуто метод Ейткена і доведено, що система рівнянь для оцінки параметрів моделі на основі методу Ейткена запишеться так:

.

Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформувати матрицю S або V.

Матриця S має вигляд

(3.3)

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків .Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

(3.4)

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

Покажемо, як використовується циклічний коефіцієнт кореляції для обчислення .

або

Дисперсія залишків з урахуванням зміщення обчислюється так:

.

Величину можна обчислити методом 1МНК з допомогою авто-регресійного рівняння .У такому разі

де х, взято як відхилення від свого середнього значення.

При реалізації алгоритму Ейткена для оцінки параметрів моделі застосовують такі п'ять кроків.

Крок І. Оцінка параметрів моделі за методом 1МНК.

Крок 2. Дослідження залишків на наявність автокореляції.

Крок 3. Формування матриці коваріації залишків V або S.

Крок 4. Обернення матриці V або S.

Крок 5. Оцінка параметрів методом Ейткена, тобто згідно з (3.1), (3.2).

Метод перетворення вихідної інформації

Випадок, коли залишки задовольняють авторегресійну модель першого порядку, допускає альтернативний підхід до пошуку оцінок параметрів моделі за допомогою двокрокової процедури:

1) перетворення вихідної інформації при застосуванні для цього параметра ;

2) застосування 1МНК для оцінки параметрів на основі перетворених даних.

Для цього треба знайти матрицю перетворення Т, щоб модель

TY=T X A +T u

мала скалярну дисперсійну матрицю

.

Метод Кочрена—Оркатта

Нехай задано економетричну модель

(3.7)

Перетворивши вихідну інформацію за допомогою , дістанемо:

. (3.8)

(3.9)

Опишемо його алгоритм.

Крок 1. Довільно вибирають значення параметра , наприклад . Підставивши його в (3.9), обчислюють і

Крок 2. Поклавши і , підставимо їх у (3.9) і обчислимо .

Крок 3. Підставивши в співвідношення (3.9) значення =r2, знайдемо і .

Крок 4. Використаємо і для мінімізації суми квадратів залишків (3.9) за невідомим параметром =r3. Процедура триває доти, доки наступні значення параметрів , і не будуть відрізнятись менш як на задану величину.

Метод Дарбіна

Дарбін запропонував просту двокрокову процедуру, яка також дає оцінки параметрів, вони асимптотичне мають той самий вектор середніх і ту саму матрицю дисперсій, що й оцінки методу найменших квадратів.

Крок 1. Підставимо значення залишків, яке підпорядковане ав-торегресійній моделі першого порядку , до економетричної моделі . Тоді дістанемо де .

Звідси ,

У результаті обчислень маємо .

Крок 2. Значення .використовується для перетворення змінних і , а 1МНК застосовується до перетворених даних. Коефіцієнт при є оцінкою параметра , a вільний член, поділений на -r, оцінює параметр .

ПРОГНОЗ

Теоретичні дослідження прогнозу в разі порушення умови

було розглянуто раніше.

Нехай маємо модель: , де М(и) = 0 і , яка побудована для п спостережень.

Використаємо цю модель для визначення прогнозу залежної змінної Yn+1 для періоду п +1 коли для цього періоду задано незалежну змінну хп+1. Формула дає найкращий незміщений прогноз:

,

де — оцінка параметрів моделі згідно з методом Ейткена,

Якщо залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку, то з урахуванням рівності можна записати:

Отже, вектор W можна дістати, помноживши на останній стовпець матриці V. Але оскільки , то добуток являє собою останній рядок матриці Е, помножений на .

Звідси .

Формула прогнозу має вигляд

(3.11)

де - прогнозний рівень залежної змінної; - прогнозне значення незалежної змінної.

94. Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається лагом (запізненням).

Кількісне вираження взаємозв'язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між витратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами тощо має базуватися на врахуванні впливу запізнення, або лагу. Причому вплив деяких пояснювальних змінних на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом певного часу, тобто лаг може складатись з кількох часових періодів. У такому разі маємо справу з економетричною моделлю розподіленого лагу.

Нехай економетрична модель розподіленого лагу визначається так:

(1.1)

де — параметри моделі при лагових змінних; — пояснювальна лагова змінна; — період зрушення; залишки, що розподілені нормально, тобто мають нульове математичне сподівання і сталу дисперсію.

Модель (1.1) називається загальною моделлю нескінченого розподіленого лагу, якщо для неї справджуються такі умови:

1) , для будь-яких k, j; (1.2)

2) , j=l,2,3...; k =1,2,3...; (1.З)

3) , де wскінченне число; (1.4)

4) ; (1.5)

5) . (1.6)

Коефіцієнти , j =0,1,2 ..,називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність - структурою лагу.

Якщо виконуються умови (1.3) — (1.6), то величини , j = 0,1,2,..., називаються нормованими коефіцієнтами лагу, а послідовність нормованою структурою лагу для моделі (1.1).

Моделі розподілених лагів, можуть задовільно описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Усе це підводить до побудови узагальненої моделі розподіленого лагу, яка містить не лише лагові змінні, а й інші фактори — пояснювальні змінні , значення яких характеризують поточні умови функціонування економічних систем у період t.

Узагальнена модель розподіленого лагу задаватиметься рівнянням

(1.7)

Труднощі оцінювання параметрів такої моделі пов'язані з необхідністю враховувати обмеження на параметри .

95. Теоретично побудову моделі з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість незалежних змінних . Але практична реалізація такої моделі часто стикається з непереборними труднощами, що зумовлені великою кількістю факторів, істотною обмеженістю часових рядів і складністю їх внутрішньої структури.

Як правило, до моделі входять такі змінні , для яких лаги обгрунтовані теоретично і перевірені емпірично. Для обгрунтування лагу чи лагів доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію. Ця функція характеризує тісноту зв'язку кожного елемента вектора залежної змінної з елементом вектора незалежної , зсунутим один відносно одного на часовий лаг .

(1.8)

Для різних значень на основі взаємної кореляційної функції можна дістати п + 1 значення . Якщо = 0, то маємо парний коефіцієнт кореляції. Значення містяться на множині є]-1,1[. Найбільше значення за модулем (найближче до одиниці) визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо серед множини значень є кілька, величини яких наближаються до одиниці, то це означає, що запізнення впливу змінної відбувається протягом певного проміжку часу і в результаті маємо кілька часових лагів для двох взаємопов'язаних часових рядів. Знайшовши часові лаги для визначення взаємозв'язку між економічними показниками, можна побудувати економетричну модель розподіленого лагу.

Величину називають зрушенням (зсуненням). Зрушення, якому відповідає найбільший коефіцієнт взаємної кореляції, називається часовим запізненням, або часовим лагом.

Графік нормованої кореляційної функції називається корелограмою.

Корелограма взаємної кореляційної функції, побудована для цих часових рядів, зображена на рис. 1.

Рис. 1. Корелограма

Динамічна модель розподіленого лагу в такому разі запишеться так:

, (1.9)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]