21. Сопротивление при свободном движении тел в газах и жидкостях

Сопротивление движению тел в газах и жидкостях

При движении тела в жидкости и газах (или при обтекании неподвижного тела движущейся жидкостью) возникают сопротивления, для преодоления которых и обеспечения равномерного движения тела должна быть затрачена энергия. Величина возникающего сопротивления зависит главным образом от режима движения и формы обтекаемого тела.

Можно отметить, что, начиная с некоторых значений критерия Рейнольдса, роль лобового сопротивления для шарообразных тел становится преобладающей, а сопротивлением трения можно пренебречь. В данном случае наступает автомодельный ( по отношению к критерию Рейнольдса) режим.

Сила сопротивления R среды движущемуся в ней телу может быть выражена уравнением сопротивления трения:

, R/S ,

где S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярная направлению движения тела, м².

Решив последнее уравнение относительно ξ, можно установить, что ξ пропорционально критерию Эйлера Е_и= (ξ отличается от Е_и лишь множителем 2).

Величины ξ при различных гидродинамических режимах могут быть получены обработкой данных в виде обобщенных зависимостей между критериями гидродинамического подобия. Для шарообразных частиц

при Re < 2 ξ = 24/ Re – ламинарный режим;

при Re = Re 2…500 ξ = 18,5/ Re^0,6 – переходный режим;

при 2·10⁵ > Re >500 ξ = 0,44 = const – автомодельный режим.

Подстановка в уравнение каждого из приведенных выше уравнений для ξ показывает, что при ламинарном режиме сила сопротивления R ~ω; при переходном режиме R~ ω^1,4, а при автомодельном R~ ω². При движении тел, отличающихся по форме от шара, значение ξ больше и зависит не только от критерия Re, но и от фактора формы Ф, т.е

ξ = ƒ(Re,Ф), Ф = F_ш/F ,

где F_ш - поверхность шара, имеющего тот же объем, что и рассматриваемое тело поверхностью F.

Например, для куба Ф=0,806, для цилиндра высотой в 10 раз превышающей его радиус Ф=0,69, для диска, высота которого в 10 раз меньше радиуса Ф=0,32. Значение Ф приводится в справочниках. Для тел нешарообразной формы определяющим линейным размером в критерии Re служит диаметр эквивалентного шара d, равный диаметру шара, имеющего тот же объем, что и данное тело. Значение d можно найти из соотношения:

; ,

отсюда .

22. Осаждение частиц под действием сил тяжести и инерции. Примеры применения.

При полном отсутствии сопротивления сред для тела с массой m скорость меняется по известному закону

w = gτ.

Однако с увеличением скорости согласно уравнению будет расти и сопротивление, а соответственно будет снижаться ускорение. В результате через короткий промежуток времени наступит динамическое равновесие: сила тяжести, под действием которой частица движется, станет равной силе сопротивления среды. Начиная с этого момента, ускорение движения будет равно нулю и частица станет двигаться равномерно с постоянной скоростью. Скорость такого равномерного движения частицы в среде называют скоростью осаждения и обозначают символом ω_ос. Сила, движущая шарообразную частицу диаметром d, выражается разностью между силой тяжести и выталкивающей архимедовой силой:

Сила сопротивления среды:

.

Скорость ω_ос можно найти из условия равенства этих уравнений:

= , откуда

.

Для ламинарной области, где ξ = 24/Re получаем:

.

Максимальный размер частиц, осаждение которых происходит по линейному закону, можно найти, подставив в последнее уравнение вместо скорости осаждения её выражение через критерий Рейнольдса

и приняв Re=2, тогда

.

Существует и минимальный размер частиц, ниже которого наблюдаются отклонения от линейного закона. При Re < 10^-4 на скорость осаждения очень мелких частиц начинает влиять тепловое движение молекул среды. В таких условиях размер d частиц становится соизмеримым со средней длиной λ – свободного пробега молекул среды. При этом скорость осаждения следует разделить на поправочный коэффициент:

.

Причем А меняется в пределах от 1,4 до 20 (для воздуха А=1,5). Расчеты показывают, что при осаждении в воздухе частиц пыли размером d > 3 мкм

К ≈ 1. При d ≈ 0,1 мкм пыль не осаждается, а наблюдается лишь хаотическое броуновское движение.

В случае 2 < Rе < 500

При Re > 500

.

Эти уравнения решаются методом последовательных приближений. Для избежания этого трудоемкого метода в [16] предложен метод, основанный на преобразовании:

, отсюда

Выражение является критерием Архимеда Ar, т.е.

.

Таким образом,

ξRe² = (4/3)Ar.

Подставив в это обобщенное уравнение граничные значения критерия Re, отвечающие переходу одной области осаждения в другую, можно найти соответствующие критические значения критерия Ar.

Для Re < 2 , Re² = , откуда

.

Верхнее предельное значение критерия Архимеда для этой области

Ar_в1 = 18·2 = 36.

Следовательно, существование ламинарного режима осаждения соответствует условию Ar < 36.

Для переходной области получаем

Ar= ,

или Re = 0,152·Ar^0,714.

При подстановке в последнее уравнение Re = 500 находят верхнее предельное значение для переходной области:

500 = 0,152Ar^0,714_кр2 ,

откуда Аr_кр2 = = 83940.

Таким образом, переходная область осаждения соответствует изменению критерия Ar в пределах

36 < Ar < 83940.

Для автомодельной области, где Ar > 83940 находим:

0,44Re² = ,

Re = 1,74 .

Таким образом, рассчитав величину критерия Ar, определяют по значению Ar область, в которой происходит осаждение. Вычисляют, пользуясь одним из полученных уравнений, отвечающим этой области, значение Re, и находят по нему скорость осаждения.

ω_ос= .

Для расчетов может быть использована и единая интерполяционная зависимость для всех режимов осаждения [16]:

.

Скорость осаждения ω'_ос частиц нешарообразной формы меньше, чем скорость осаждения шарообразных частиц, т.е.

ω ^'_ос < ω _ос,

ω ^'_ос = φω _{ос ,}

где φ < 1. Для округлой формы φ ≈ 0,77, для угловатых частиц φ ≈ 0,66, для продолговатых φ ≈ 0,58 и для пластинчатых φ ≈ 0,43. При этом при определении ω _ос для нешарообразных частиц вместо d подставляем d_экв, определяемое по уравнению d = 1,2· ³ .

Полученные уравнения под действием сил тяжести применяются при расчете осадительных камер (см. приложение).