14. Третья теорема подобия. Раскрыть ее сущность.

Третья теорема подобия или теорема М.В.Кирпичева и А.А.Гухмана. Явления подобны, если их определяющие критерии численно равны.

Она формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяющих критериев подобия.

Следствием равенства определяющих критериев согласно ₁ = f (₂,₃,…_n) (2.78) является равенство определяемых критериев для модели и натуры. Поэтому зависимость типа (2.78), полученная обобщением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива (в тех же пределах изменения определяющих критериев) для всех подобных процессов, в том числе для натуры.

Исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:

1. Составить дифференциальное уравнение, и ,установив условия однозначности, провести преобразование этого уравнения и найти критерии подобия.

2. Путем опытов на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, причем полученное обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследованных пределах определяющих критериев подобия.

Вопрос 2

33.Уравнение Майера.

С_Р - С_V.= (M/ )*R

С_Р – теплоемкость при постоянном давлении.

С_V. - при постоянном объёме,

С_Р - С_V .= R

c_p-c_v=R/ (C – теплоемкость, с – удельная теплоемкость)

В термодинамике используется так называемый термодинамический коэффициент (показатель адиабаты): K=C_p/C_v= С_q / С_V = C_p/C_v

Используя уравнение Майера и выполнив ряд преобразований, мы получим:

- для изохоры: C_v=(R/(K-1))* (M/ ), C_vµ=R/(K-1), c_v= R/((K-1)* ).

- для изобары: С_p=(K*R/(K-1))* (M/ ), C_pµ= K*R/(K-1), c_p= K*R/((K-1)* ).

Вопрос 16

15. Преобразование дифференциального уравнения Навье-Стокса в критериальное. Гидравлическое подобие

Перепишем уравнение Навье – Стокса в случае капельной жидкости для оси Z

, где - оператор Лапласа.

В развёрнутом виде можно записать:

.

Сумма вторых производных по осям координат называется оператором Лапласа. Критерии подобия можно получить путем деления левой части дифференциального уравнения на правую (или наоборот) и последующего отбрасывания знаков математических операторов.

Для установившегося потока

Заменяем в левой части уравнения, характеризующего силу инерции,

дифференциалы конечными величинами ,

где l - определяющий линейный размер.

В правой части уравнения член, отражающий действие сил тяжести, равен g. Производная характеризует действие силы давления. Заменим .

Последнее слагаемое правой части, отражающее действие силы трения, имеет вид:

.

Примем за масштаб преобразования силу инерции и поделим члены правой части уравнения на масштаб, и таким образом найдем выражение, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции. В результате получим безразмерные соотношения величин – критерии подобия.

Выражение, характеризующее отношений силы тяжести к силе инерции, можно представить как - критерий Фруда (обозначается F_r).

Чтобы избежать величин, меньших единицы, предпочитают пользоваться обратным выражением: . (2.79)

Аналогично найдём соотношение между силами давления и инерции:

- критерии Эйлера (обозначается Е_u).

Обычно вместо абсолютного давления вводят разность давления между точками жидкости: . (2.80)

Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости.

Аналогично найдём выражение, отражающее отношение силы трения к силе инерции. Для того, чтобы избежать чисел, меньших единицы, берем обратное отношение:

. (2.81)

Критерий Re характеризует отношение инерционных сил к силам трения. Величина l в критериях характеризует определяющий линейный размер.

При неустановившемся движении: , тогда .

Отношение между силой инерции и этой величиной составляет

, (2.82)

где - учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках и называется критерием гомохронности.

Во всех сходственных точках движущихся подобных жидкостей

, , , .

Согласно второй теореме подобия решение уравнений Навье – Стокса можно представить в виде: = (H₀,Fr,E_u,Re) = 0.

В ряде случаев указанная зависимость может быть дополнена симплексами геометрического подобия, тогда:  = (H₀,Fr,E_u,Re,l/d) = 0. (2.83)

Как правило, кроме критерия E_u, все другие критерии являются определяющими, так как они составлены из величин, выражающих условие однозначности.

В критерий E_u входит P, значение которого при движении по трубе полностью обусловливается (l/d_э – формой трубы); , - физические свойства распределения скоростей у входа в трубу и у ее стенок (начальные и граничные условия). Поэтому согласно третьей теореме подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства значений H₀, Fr, Re и l/d.

Следствием выполнения этих условий будет также равенство определяемого критерия E_u в сходственных точках подобия потоков. Поэтому уравнение (2.83) представляют как

E_u=f(H₀,Fr,Re,l/d_э).

Последнюю функцию наиболее часто аппроксимируют степенной зависимостью вида

(2.84)

или после подстановки соответствующих безразмерных комплексов:

.

Путем обработки опытных данных, полученных на моделях, находят числовые коэффициенты А и показатели степени m,n,p,q при соответствующих критериях.

Для установившегося движения: E_u = f (Fr,Re, l/d_э).

В общей форме можно записать E_u = f (Fr,Re,Г₁,Г₂,Г₃), где Г₁,Г₂,Г₃ - симплексы геометрического подобия.