Требование простоты и адекватности

Очевидно, что, если ориентироваться на требование адекватности модели, то мы вынуждены отдавать предпочтение сложным моделям. Но очень часто усложнение моделей приводит к невозможности её решения. Таким образом, мы приходим к требованию достаточной простоты модели по отношению к выбранной системе характеристик S, до некоторой степени противоположному требованию адекватности. Поэтому в некоторой степени является искусством выбор оптимального соотношения между адекватностью и простотой модели.

Проиллюстрируем разумное соотношение между адекватностью и простотой при помощи диаграммы (рис.17), допустив, что степени этих качеств оцениваются величинами от 0 до 1, условно обозначенными качественными категориями простота (0 – сложная, 1 – простая), адекватность (0 – неудовлетворительно, 1 – отлично). Модели, доступные для выбора, расположены под кривой.

Рис. 17 демонстрирует принцип выбора модели с разумным соотношением между простотой и адекватностью.

Рис. 17

Очевидно, что модели необходимо выбрать на кривой внутри сегмента, выделенного пунктирной линией.

Лекция 9. Контроль математической модели

Процедура проверки адекватности модели, как правило, сложна. В полной степени адекватность модели можно установить лишь после практической реализации модели и проведения соответствующих экспериментов. Вся проблема в том, что неадекватность модели состоит из двух основных факторов, которые в литературе называются внутренним и внешним правдоподобием модели.

Ранее мы говорили, что прикладное исследование, в котором применяется математика, вслед за этапом построения математической модели содержит этап выбора метода исследования и реализации этой модели. Обычно первый этап завершается записью исходных соотношений, уравнений или неравенств. Второй  состоит в решении математической задачи, который может включать получение как количественных результатов так и качественных выводов. Таким образом, решение строится по следующей схеме (рис. 18).

Р еальный объект Модель Решение

Рис. 18

Обычно степень адекватности модели заранее неизвестна, а выясняется только после многократных проверок в изучаемой и сходных задачах. Чаще всего после выбора модели исследователь может лишь предполагать, какова степень ее адекватности. Эту ожидаемую степень адекватности называют внешним правдоподобием модели. Она характеризует соответствие математической модели изучаемой реальной системе по выбранным исследователем характеристикам. Внешнее правдоподобие, как правило, тем ближе к истинной степени адекватности, чем выше опытность и интуиция исследователя.

Внутреннее правдоподобие – ожидаемая степень адекватности второго перехода схемы. В частности, если модель представляет собой систему уравнений, то внутреннее правдоподобие – это точность решения системы.

Таким образом, вопрос о методах проверки адекватности модели в целом достаточно сложен. В то же время существует несколько простых приемов, которыми пользуются в процессе построения модели и которые помогают предотвратить появление грубых ошибок, влияющих на конечную адекватность модели.

Предположим, в процессе создания модели нами были выбраны законы и гипотезы, которые будут основополагающими в нашей модели. Мы переходим к следующему этапу моделирования, выписываем соотношения, связывающие между собой некоторые величины. При этом целесообразно использовать следующие приемы промежуточного контроля адекватности модели.

1. Контроль размерности состоит в применении примитивного правила – складывать и приравнивать можно величины только одной размерности. Этим правилом нужно пользоваться как можно чаще не только на окончательной, но и на промежуточных стадиях вывода соотношений. При переходе к вычислениям он сочетается с контролем системы единиц.

Например, если в соотношении величины b и k измерены в денежных единицах, то и первое слагаемое левой части также должно быть выражено в тех же денежных единицах;

2. Контроль порядка состоит в грубой оценке сравнительных порядков складываемых друг с другом единиц величин, чтобы выделить основные слагаемые и уточняющие члены и при этом малозначительные слагаемые отбросить.

Пусть, например, получили соотношение вида a – b + c = 0, причем путем прикидки установлено, что с « а, а значит, и с « b, тогда можно перейти к более простому уравнению a – b = 0. К этому виду контроля также относится контроль порядка поправочных членов, появляющихся при замене одних функциональных зависимостей другими, например, при линеаризации:

.

3. Контроль характера зависимости. Здесь речь идет о проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Эти направления скорости, вытекающие из выписываемых соотношений, должны быть такими, как это следует непосредственно из содержательного смысла задачи. Пусть, например, мы вывели соотношение d = a²b – c (a, b, c > 0), тогда с ростом a и b значение d должно возрастать, а с ростом с – убывать. Причем при увеличении а, d должно возрастать быстрее, чем при увеличении b. Сравнение этих качественных выводов с тем, что вытекает из физического смысла поведения параметров моделируемой системы, служит добавочным средством контроля правильности выведенного соотношения.

4. Контроль экстремальных ситуаций. Всегда при моделировании сложных систем целесообразно проследить за тем, какой вид принимают как исходные, так и промежуточные соотношения, а также выводы из исследования модели, если параметры модели приближаются к крайним допустимым для них значениям, чаще всего к 0 или ∞. В таких экстремальных ситуациях задача часто упрощается или вырождается. При этом соотношения приобретают более наглядный вид и могут быть проверены, если соответствующие им решения можно получить независимо от анализа общего случая или они заранее известны.

Хотя предельные переходы, как правило, описываются на языке математики, за каждым таким переходом можно увидеть не только «игру величин», но и некоторые умозрительные преобразования физических образов. За устремлением некоторой величины к 0 (∞) может скрываться, скажем, переход от плановой экономики к рыночной, от вязкоупругой системы к чисто упругой, от упругой опоры к абсолютно жесткой и т.п.

Чаще всего предельные переходы вполне ясны по смыслу. В их результатах трудно усмотреть что-либо удивительное, они прекрасно выполняют свою контрольную функцию. Но бывает, что переход к предельному случаю не приводит к заранее известным результатам, а обнаруживает нечто неожиданное и поначалу труднообъяснимое.

Пример. Предположим, у нас есть балка, с одного конца шарнирно закрепленная, а с другого конца находится жесткая опора. Расстояние между опорами а, длина балки l (рис. 19).

Рис. 19

Прикладываем к балке силу величиной P, балка при этом прогнется на величину f . Согласно теории изгиба, можно найти f:

,

где p – величина силы; l – длина балки; а – расстояние между опорами; Е – модуль упругости материала; J – момент инерции поперечного сечения балки.

В теоретической механике коэффициент жесткости балки определяется как c = p/f:

.

Очевидно, что чем больше p, l, l-a, тем больше прогиб балки.

Рассмотрим, что происходит с коэффициентом жесткости, когда правая опора балки принимает крайние возможные положения, а именно, когда место приложения опоры совпадает с началом и концом балки, т.е. при а = 0 и а = l.

Понятно, что при a = l, когда правая опора находится под силой, прогиб равен 0 и коэффициент жесткости c оказывается бесконечно большим, т.е. c  . Очевидно, что при уменьшении а коэффициент жесткости постепенно уменьшается. Но совсем непонятно, почему при а = 0 коэффициент жесткости с не равен 0, а равен постоянной величине (c = const). Ведь в этом предельном случае обе опоры совпадают и система из геометрически неизменяемой становится механизмом, неспособным сопротивляться действию силы P, т.е. его жесткость должна быть равна 0. Получается, что модель противоречит здравому смыслу при предельном значении а. Дело в том, что наша модель адекватно описывает изгиб при а, неблизких к 0.

При малых а возрастают опорные реакции, причем при а  0 растут поперечные силы в пределах левого участка и становятся при этом бесконечно большими. Именно здесь и находится ключ к разгадке несоответствия модели здравому смыслу в предельном случае. При малых а, т.е. при больших поперечных силах нельзя пользоваться обычной теорией изгиба, которая предполагает отсутствие сдвигов, нужно учитывать перемещения обусловленные сдвигами. Если учесть сдвиги, то получится иное выражение для коэффициента жесткости:

.

где r – радиус инерции сечения балки; σ – модуль сдвига. Из данной формулы следует, что если а = 0, то с = 0, что уже соответствует здравому смыслу.

Данный пример показывает, что если после предельного перехода обнаруживаются какие-то неполадки, то это может служить признаком неполной адекватности теории.

5. Контроль граничных условий. Если в процессе формализации и исследования математической модели сложной системы должна быть построена некоторая функция, то обычно требуется, чтобы на границе ее области определения она удовлетворяла определенным граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. Это, в частности, относится к случаям, когда указанная функция получается как решение дифференциального уравнения. При этом требуется контроль того, что граничные условия действительно поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

6. Контроль математической замкнутости системы состоит в проверке того, что выписанные математические соотношения дают возможность однозначно решать поставленную математическую задачу. Говоря об однозначности, мы не имеем в виду, что если задача приведена к какому-то уравнению, то это уравнение должно иметь единственное решение. Сама математическая задача может быть сформулирована так: найти какое-нибудь решение, найти решение, удовлетворяющее такому-то условию, и т.п.

Пусть, например, задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы конечных линейных алгебраических уравнений. Тогда контроль замкнутости состоит в проверке того, что количество независимых выписанных уравнений равно n. Если их меньше, то надо найти недостающие уравнения, если их больше, то либо уравнения зависимы, либо при составлении модели допущена ошибка.

7. Контроль устойчивости модели гораздо более серьезен и трудоемок, чем предыдущие приемы. Он состоит в проверке того, что варьирование исходных данных модели в рамках имеющейся информации о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.