Лекция 14. Моделирование систем в условиях риска и неопределенности

Если моделируемая система обладает неполнотой информации, которая выражается в присутствии случайных величин, и есть возможность установить их закон распределения, то говорят о принятии решения в условиях риска.

Принятие решений в условиях риска обычно основывается на одном из следующих критериев:

1) ожидаемого значения прибыли (расходов);

2) комбинация ожидаемого значения и дисперсии;

3) известного предельного уровня;

4) наиболее вероятного события.

Рассмотрим на примерах технологию применимости перечисленных критериев.

Критерий ожидаемого значения. Пример 1. Предположим, инвестиции в 20 000 дол. дают с равными вероятностями либо нулевой валовой доход, либо доход в 100 000 дол. Тогда, легко посчитать, что ожидаемый чистый доход составит

100 000·1/2 + 0·1/2 – 20 000 = 30 000 дол.

Получено решение и, казалось бы, можно смело инвестировать деньги. С математической точки зрения задача очень простая, но есть определенные тонкости при интерпретации решения.

Во-первых, принятие того или иного решения зависит от значимости денег для инвестора, т.е. какой суммой он обладает и как может отразиться на его финансовом состоянии потеря 20 000 дол. Если вложение денег может привести инвестора к банкротству, то вряд ли он примет решение об инвестировании. Если данная сумма для него незначительна, то, скорее всего, он примет положительное решение.

Во-вторых, значение прибыли – это всего лишь ожидаемое значение. Если неоднократно инвестировать деньги, то средняя прибыль от одной инвестиции примерно будет равна 30 000 дол. Поэтому критерий ожидаемого значения целесообразно применять, если решение реализуется многократно. Сказанное следует из известного из теории вероятностей свойства, что среднее арифметическое при увеличении числа наблюдений стремится к математическому ожиданию, а дисперсия среднего арифметического стремится к 0.

Пример 2. Охранная система фирмы управляется сервером, к которому подключено n компьютеров. Если компьютер сломался, то он ремонтируется индивидуально. Через T интервалов все компьютеры проходят профилактический ремонт. Определенные суммы тратятся как на профилактический, так и на экстренный ремонт. Определить оптимальное значение T, при котором затраты на облуживание компьютерной сети минимальны.

Пусть p_t – вероятность выхода из строя одного компьютера в период t, n_t – случайная величина, представляющая число всех вышедших из строя станков в период t, t – это дискретные значения времени, равные 1, 2, 3, …, T (например, месяц, год и т.д.). Далее, с₁ – затраты на ремонт вышедшего из строя компьютера, с₂ – затраты на профилактический ремонт компьютеров, Е (n_t) – математическое ожидание числа вышедших из строя станков в период t. Если система функционирует длительное время, то целесообразно применение критерия ожидаемого значения. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ЕС (Т) = .

Затраты суммируются до Т–1, так как после Т интервалов производится профилактический ремонт. Легко видеть, что n_t имеет биномиальное распределение. Поэтому E(n_t) = np_t. Отсюда

ЕС (Т) =n .

Необходимое условие оптимальности для оптимального значения имеет вид

ЕС ( – 1) » ЕС ( ) « ЕС ( + 1).

Для того чтобы найти значение , начиная с t = 1, 2, …, Т, вычисляем ЕС(Т) и проверяем выполнимость условия, пока не найдем такое , для которого оно будет выполнено. Пусть, например, с₁ = 100 дол., с₂ = 10 дол. и n = 50, значения р_t и вычисленные ожидаемые затраты приведены в табл. 4, из которой следует, что = 3.

Таблица 4

T	pt		EC(T)
1	0,05	0	500
2	0,07	0,05	375
3	0,1	0,12	366,7
4	0,13	0,22	400
5	0,18	0,35	450

Критерий ожидаемого значения – дисперсия применяется, если надо принимать решения в условиях риска в системах при редко повторяющихся ситуациях. В этом критерии оптимизация ожидаемого значения сопровождается уменьшением дисперсии. Критерий может иметь вид max(E(z) – kD(z)).

Критерий предельного уровня предполагает назначение предельного значения критерия, после превышения которого принимается решение.

Критерий наиболее вероятного события переводит задачу принятия решений в условиях риска в задачу принятия решений в условиях определенности, считая значения случайной величины с максимальным значением вероятности детерминированной величиной.