Моделирование систем в условиях неопределенности
Если мы говорим о принятии решений в условиях неопределенности, то предполагаем, что никакие вероятностные характеристики параметров системы неизвестны. Следующее допущение состоит в том, что лицу, принимающему решение, не противостоит разумный противник, пытающийся причинить ему вред. В случае, когда ему противостоит природа, нет оснований считать, что она стремится причинить ему вред.
Данные задаются в виде таблицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы (табл. 5). Каждому действию и каждому состоянию системы соответствует результат (исход), определяющий выигрыш или потери лица, принимающего решение. Обозначим через αj – действия (i = 1, …, m); bj – возможные состояния системы (j = 1, …, n); Q(αj, bj) – соответствующий результат.
Таблица 5
|
b1 |
b2 |
… |
bn |
α1 |
Q(α1, b1) |
Q(α1, b2) |
… |
Q(αj, bn) |
α2 |
Q(α2, b1) |
Q(α2, b2) |
… |
Q(α2, bn) |
… |
… |
… |
… |
… |
αm |
Q(αm, b1) |
Q(αm, b2) |
… |
Q(αm, bn) |
Существуют различные критерии подсчета результата (выигрыша или проигрыша) при выборе той или иной стратегии.
Например, критерий Лапласа, опирающийся на известный принцип недостаточного обоснования, предполагает равновероятными различные состояния системы. В этом случае задача сводится к принятию решения в условиях риска, когда выбирается действие, дающее наибольший ожидаемый выигрыш, т.е. находится такое действие αj*, что
,
где
– вероятность реализации состояния
bj.
Минимаксный (максиминный) критерий – наиболее пессимистичный (осторожный) критерий, поскольку предполагает выбор наилучшего решения при наихудших состояниях системы. Если результат Q(αj, bj) – это потери лица, принимающего решение, то для действия αj наибольшие потери независимо от возможного состояния будут иметь вид
.
По минимаксному критерию выбирается действие αj, дающее
.
Аналогично, если результат Q(αj, bj) – это выигрыш, то по максиминному критерию выбирается действие αj, дающее
.
Можно пользоваться и оптимистичными критериями. В этом случае критерии будут называться соответственно миниминный и максимаксный и примут вид
,
.
Критерий Гурвица – критерий широкого диапазона действий, охватывающий подходы от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.
Если результат Q(αj, bj) – это потери, то критерий имеет вид
+
.
Если результат Q(αj, bj) – это выигрыш, то критерий имеет вид
+
,
где k [0, 1] и является показателем оптимизма. При k = 1 критерий оптимистичный, при k = 0 критерий пессимистичный.
Пример 5. Пусть задана матрица потерь (табл. 6).
Таблица 6
|
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
α1 |
5 |
10 |
18 |
25 |
α2 |
8 |
7 |
8 |
23 |
α3 |
21 |
18 |
12 |
21 |
α4 |
30 |
22 |
19 |
15 |
Предположим, k = 0,5. Решение найдем при помощи табл. 7.
Таблица 7
|
|
|
|
α1 |
5 |
25 |
15 |
α2 |
7 |
23 |
15 |
α3 |
12 |
21 |
16,5 |
α4 |
15 |
30 |
22,5 |
+
По данному критерию нужно выбрать действие α1 или α2.