Лекция 8. Математическое моделирование

При моделировании и анализе сложных систем используют те или иные прикладные математические исследования.

В прикладном математическом исследовании условно можно выделить основные этапы:

1. содержательная постановка задачи;

2. математическая формулировка задачи (построение математической модели);

3. выбор метода решения;

4. проведение математического исследования полученного решения;

5. анализ и реальная интерпретация полученного математического результата;

6) практическая реализация математической модели и проверка ее адекватности.

Эти этапы тесно связаны между собой, поэтому их расчленение до некоторой степени искусственно.

Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. В то же время в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или существенно изменить математическую модель.

Будем говорить, что объект А является моделью объекта А относительно некоторой системы характеристик S, если А строится или выбирается для имитации А по этим характеристикам. Модель может быть построена как для изучения указанных характеристик (исследовательские модели в различных областях знаний), так и для их непосредственного использования (рабочие модели, например, различные автоматы, куклы, деньги, протезы и т.д.).

Из общих свойств моделей отметим следующее. Поскольку модель строится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его.

Исследовательские модели можно грубо разделить на две группы: экспериментальные и теоретические (умозрительные). Теоретические модели формулируются на языке той или иной науки. В зависимости от характера этого языка можно говорить о математической модели, физической, химической, биологической и т.д.

Математической моделью достаточно сложного оригинала служит система уравнений в самом широком смысле этого слова (алгебраические, дифференциальные и т.д.). Математическая модель отдельного элемента относительно проще – она может быть в виде функции, вектора, матрицы, скалярной величины и т.д., например, оценка на экзамене. Математическая модель может быть реализована в виде не только математических символов, но и некоторой блок-схемы алгоритма, программы для вычислительной машины, некоторого функционирующего блока вычислительной машины (процессора).

Один и тот же объект может иметь несколько неэквивалентных моделей. Это прежде всего связано с существованием различных аспектов изучения объекта А, т.е. необходимостью исследования различных систем S₁, S₂,… характеристик объекта. Но разные модели могут появиться при изучении одной и той же системы характеристик. Это относится, в частности, к математическим моделям. Так, один и тот же реальный объект можно описывать с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической модели. Применение конкретной математической модели зависит от целей, поставленных исследователем, от фактического уровня науки и в значительной степени от имеющихся средств моделирования. Последнее обстоятельство играет решающую роль. Например, для применения вычислительных машин удобнее одни модели, а для аналитических исследований – другие. Иногда тип модели подбирается из слепого подражания или определяется пробелами в образовании исследователя. В результате все исследование может превратиться в математическое упрощение, обычно не представляющее никакого теоретического интереса, а из-за неадекватности модели не имеющее прикладного значения.

В прикладных задачах построение математической модели – это один из наиболее сложных и ответственных этапов системного анализа. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Обычно над прикладной математической моделью работает математик и специалист из той области, к которой относится изучаемая система. Для успеха их совместной работы очень важно взаимопонимание, которое приходит тогда, когда математики обладают специальными знаниями о анализируемой системе, а их партнеры – определенной математической культурой, опытом применения математических методов в своей области знаний. Умение сделать правильный выбор модели находится на грани науки и искусства. Оно требует не только математических и прикладных знаний и опыта, но также вкуса и чувства соразмерности.

Под адекватностью модели изучаемой сложной системы понимается:

1) правильное качественное описание системы по выбранным характеристикам (например, в результате изучения динамической модели мы делаем правильный вывод о затухании колебаний реального объекта, об устойчивости его движения; если идет речь о каких-либо экономических показателях, то может быть сделан вывод о наличии сезонности, тренда и т.д.);

2) правильное количественное описание системы по выбранным характеристикам с некоторой разумной степенью точности (например, вычисление значений экономического показателя по подобранной модели временного ряда или уравнения регрессии).

Если изучается отклик системы на воздействие того или иного класса параметров, то модель, адекватная относительно одного класса параметров, может быть неадекватной относительно другого класса параметров. Таким образом, адекватность моделирования определяется не только моделируемым объектом и его моделью, но и видом рассматриваемых воздействий, выбранным классом откликов на них и принятым уровнем точности описания.

Пример 1. Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном изотропном твёрдом теле. Закон Фурье (тепловой поток пропорционален градиенту температуры) приводит к известному уравнению теплопроводности:

,

где Q – температура; t – время; a – коэффициент теплопроводности; ²Q – градиент температуры (вектор).

Данная модель хорошо описывает реальную эволюцию температуры, т.е. адекватна в количественном отношении: выравнивание температуры, когда  

t  , сохранение количества тепла. Таким образом, относительно этих утверждений (которые можно принять за характеристики изучаемого процесса) уравнение теплопроводности является адекватным в количественном и качественном отношении.

Но если мы по этой модели вычислим скорость распространения тепла, то она будет принимать абсурдное значение (V  ). Поэтому, если в качестве характеристики процесса рассматривать скорость V распространения тепла, то данное уравнение оказывается неадекватным как в количественном, так и в качественном отношении. Чтобы получить адекватную модель, необходимо уточнить закон Фурье, учитывая инерционность молекул, которая в этом случае оказывается решающей. Это приводит к более полному уравнению.

.

Из этого уравнения получаем V = .

Еще одним примером могут служить малые свободные колебания реальной автономной системы с малым трением. Если при математическом анализе этой системы применить линейную консервативную (без трения) модель, то такая упрощенная модель может иметь достаточно высокую степень адекватности по частотам и формам колебаний, но будет, очевидно, совершенно неадекватной по затухающим колебаниям.

К сожалению, в более сложных системах неадекватность модели может привести к тому, что мы не уловим или чрезмерно исказим то, что на самом деле есть и нам нужно, но зато будем изучать то, что нам не нужно, или даже то, чего на самом деле нет.

Хотя правилом служит понижение адекватности модели при ее упрощении, имеются редкие примеры, когда при упрощении модели ее адекватность повышается.

Пример 2. Пусть рассматривается гармоническое возбуждение линейной автономной колебательной системы с одной степенью свободы и с малым трением. Пренебрегая трением и переходя к комплексным величинам, запишем уравнение колебаний в виде

mx^// + lx = F₀e^iωt.

Общее решение этого уравнения при ω = ω₀ = имеет вид

.

где с₁, с₂ – постоянные, определяемые начальными данными.

Тем не менее обычно обсуждается только часть этого решения, а именно

.

Казалось бы, это должно сделать модель менее адекватной, но на самом деле упрощение модели привело к увеличению ее адекватности. А причина этого следующая. В реальной колебательной системе всегда имеется трение, поэтому более точно колебательное уравнение

mx^// +kx^/ + lx = F₀e^iωt,

причем о параметре k известно, что он мал по сравнению с . Общее решение последнего уравнения имеет вид

, где .

С ростом t второе слагаемое затухает, т.е. по происшествии переходного периода это более точное решение х₁₂ оказывается близким не к х_1, а к х₁₁. Но так как обычно представляет интерес движение, установившееся после относительно непродолжительного переходного периода, то получается, что решение х₁₁ правильнее описывает картину, чем, казалось бы, более полное решение х₁. Таким образом, отбрасывая последние слагаемые в х₁, мы упрощаем модель, но при этом делаем ее более адекватной.