Лекция 10. Определяющие параметры. Гипотеза о линейности. Детерминированность и случайность

Определяющие параметры математической модели. Число степеней свободы. Один из важных вопросов при построении модели – вопрос о выборе системы независимых величин, достаточно полно характеризующих моделируемую систему. Такие величины называют определяющими параметрами системы. Число определяющих параметров будем называть числом степеней свободы. Число степеней свободы может быть как конечным, так и бесконечным. Удачный выбор определяющих параметров может предопределить успех исследования.

Так, Земля в небесной механике, как правило, принимается за материальную точку, т.е. объект с тремя степенями свободы, а в геофизике – за упругое или упруго-пластическое тело, т.е. объект с бесконечным числом степеней свободы. Примером из области техники может служить проблема колебаний корабля. Если возмущения являются низкочастотными (например, рассматривается действие морского волнения), то корабль с удовлетворительной точностью считают твердым телом и приписывают ему шесть степеней свободы. Если же рассматривается действие на корабль высокочастотных возмущений, возникающих при работе силовых установок, то корабль принимают за упругую систему и считают, что эта система имеет бесконечное число степеней свободы. В первом случае говорят о качке, во втором – о вибрации.

Очевидно, чем больше число степеней свободы n, тем модель адекватнее, но в то же время сложнее. При этом усложнение модели при возрастании n может происходить по существенно различным законам. Если математическая модель будет реализована на вычислительной машине, то критерием сложности модели может служить количество арифметических операций K, необходимое для решения этой задачи.

В последние годы появилась теория сложности алгоритмов, анализирующая зависимость K(n). Наиболее благоприятный случай степенной зависимости K(n) ~ cn^p при не слишком больших значениях n и p. Так, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса р = 3, а с достигает нескольких десятков. Значительные сложности появляются при экспоненциальной зависимости K(n) ~ cе^kn. Именно такая ситуация возникает при слепом поиске наибольшего значения функции n аргументов в заданной области, а также при решении задач оптимизации комбинаторного типа. Если при слепом поиске диапазон изменения каждой из n переменных подразделен на некоторое число N частей, то общее число действий имеет порядок

k(n)=ce^n!lnN.

Существующие универсальные методы пригодны для решения задач при малых n, а увеличение n ведет к быстро нарастающей экспоненциальной зависимости. В связи с этим Беллман говорил о «проклятии размерности», от которого никакими приемами не удается избавиться. В то же время оптимальным может оказаться небольшое число степеней свободы. Уменьшение числа степеней свободы в модели, не приводящее к заметной потере адекватности, может потребовать большого искусства и оказаться весьма существенным для возможности доведения исследования системы до конца.

Роль гипотезы о линейности в математическом моделировании. Как правило, все зависимости, встречающиеся в окружающей нас природе, являются нелинейными. При моделировании сложных систем гораздо чаще предположение о линейности имеет отчетливый характер допущения, хотя и далеко не всегда формулируется как таковое. Существует несколько причин широкого распространения предположения линейности в математическом моделировании.

1. Во многих случаях такое предположение является простейшим, поэтому естественным бывает желание начать исследование с простейшего.

2. В некоторых случаях это предположение имеет вполне удовлетворительную, а иногда и высокую адекватность.

3. Многие математические методы исследования приспособлены к линейным задачам. Это обстоятельство вынуждает исследователей использовать линейные схемы даже в тех случаях, когда есть серьезные основания ожидать, что реальная зависимость значительно отличается от линейной. При этом надеются либо на то, что эта нелинейность не скажется существенно на результате исследования системы, либо на возможность удовлетворительной компенсации погрешности путем надлежащего подбора коэффициентов в линейной зависимости, либо на возможность дальнейшего уточнения решения.

4. Известную роль играет человеческая психология. Линейная зависимость обычно воспринимается человеком с минимальным внутренним сопротивлением. Порой они как бы сами собой подразумеваются. Иногда это ведет к прямым ошибкам. Так, в школьных задачах обычно даже не оговаривается линейность многих зависимостей. Например, зависимость объема произведенной работы от числа работающих, скорость слива воды из отверстия в дне бассейна от уровня воды в бассейне.

Пример 1. Бассейн наполняется водой из крана за 3 ч, а сливается вода за 2 ч. За какое время вся вода сольется при открытом кране? Обычный школьный ответ – за 6 ч – не верен, так как зависимость скорости слива от высоты уровня воды не линейная, в частности, не равно const, как это предполагается при решении задачи.

, , .

Ошибки, происходящие из-за нелинейности зависимостей между переменными системы, могут быть количественными либо количественными и качественными одновременно. В первом случае решение математической задачи в целом правильно описывает свойства реального явления, хотя числовые характеристики могут получиться существенно отличными от истинных характеристик. Такой результат может оказаться достаточным, если целью исследования является лишь некий качественный вывод, например, неуклонный рост благосостояния жителей России в эпоху демократических преобразований. Иногда бывает, что качественно неправильный результат получается только из-за неудачно принятых значений параметров линейной модели. Тогда остается еще надежда на исправление результата путем корректировки значений этих параметров.

Детерминированность и случайность при моделировании сложных систем. Очевиден тот факт, что невозможно говорить об абсолютно одинаковых реальных объектах, образующих сложные системы, или одинаковых воздействиях на эти объекты (в одну и ту же воду нельзя войти дважды). Поэтому при анализе сложных систем мы не можем говорить об их абсолютной детерминированности. По-видимому, все реальные системы обладают чертами детерминированности и случайности, которые могут проявляться в той или иной степени. При этом математические модели сложных систем могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Стохастичность может быть слабой или существенной. За последние годы стохастические модели получили широкое распространение, поскольку многие прикладные задачи являются вероятностными по своей природе.

В некоторых случаях случайные компоненты могут быть искусственно введены в чисто детерминированную модель из-за преимуществ при решении математической задачи. Например, при вычислении интегралов по области сложной формы и высокой размерности по методу Монте-Карло.

Слабое звено стохастического моделирования – выбор статистических гипотез, особенно предположение о вероятностных характеристиках входных случайных величин и функций. Реальные законы распределения могут существенно отличаться от принятых (гипотетических) распределений в модели. А в некоторых реальных ситуациях оказывается, что нужная информация отсутствует и модель является не стохастической, а неопределённой, т.е. сама возможность применения статистических гипотез, а значит, и стохастических моделей оказывается сомнительной.

Пример 2 (детерминированная модель). Задача выбора ассортимента изделий. Пусть предприятие выпускает n изделий, причем x_i – количество i-го изделия; с_i – его стоимость; i = 1, …, n. Необходимо определить значения величин x_i, чтобы максимизировать доход предприятия. Если доход предприятия обозначить Z, то целевая функция будет иметь вид

Z = с₁х₁ + с₂х₂ +…+ с_nх_n → max.

Если к выписанному уравнению добавить еще ограничения на количество изделий каждого вида, то получим детерминированную математическую постановку.

Пример 3 (стохастическая модель). Предположим, что стоимости изделий являются дискретными случайными величинами и известен их закон распределения:

с1	с2	с3	…	сn
р1	р2	р3	…	pn

Тогда целевая функция имеет вид

Z = x₁р₁c₁+ x₂ р₂c₂+ … + x_nр_nc_n → max.

Пример 4 (решение детерминированной задачи при помощи статистического метода). Предположим, надо вычислить площадь фигуры внутри прямоугольника. Обозначим площадь прямоугольника S₁, а площадь фигуры S. Будем случайным образом бросать точку внутрь прямоугольника. Пусть m – общее число брошенных точек, а n – число точек, попавших внутрь фигуры. Тогда очевидно, что . Из данного уравнения следует, что S = S_{1 .} При m→∞ значение S стремится к истинному значению площади.

Стохастические модели по своей сути более адекватны, чем детерминированные, но также обладают определенными недостатками. Например, неопределенностью в сделанных выводах, за счет произвола в выборе уровня значимости критерия, поскольку на основе критерия значимости игнорируется возможность наступления при единичном испытании события, обладающего достаточно малой вероятностью.

Испытывающие разочарование от скромных результатов использования вероятностных методов в своей области специалисты, ошибочно считают, что при возможности построения как детерминированной, так и стохастической модели реальную пользу может дать только детерминированная модель.

Каждый вид математических моделей имеет свои преимущества, все они дополняют друг друга. Целесообразно построение и реализация обоих видов моделей при моделировании и анализе сложных систем.