Лекция 7. Основные понятия теории расплывчатых множеств

Все рассмотренные нами шкалы обладают одним общим свойством: они основаны на справедливости отношения эквивалентности. В действительности встречаются случаи, когда эквивалентность (различность) двух объектов нельзя однозначно установить. Наиболее явно такие ситуации прослеживаются на примере шкал, в которых классы обозначаются конструкциями естественного языка. Например, «в комнату вошел высокий молодой человек» – класс, к которому он принадлежит, назван (т.е. измерение состоялось), но какого он роста и сколько ему лет? «В руках он держал довольно тяжелый свёрток», – какого веса была его ноша? Если разобраться, то почти каждое слово нашего языка обозначает некоторое не вполне определенное множество. Например, «почти» – какой процент, «наше» – чье именно и т.д. Эта неопределенность языковых конструкций – свойство естественного языка, причем это свойство полезное. Однако оно приводит к затруднениям при различных формализациях.

Древние философы дискутировали о том, сколько песчинок должно быть собрано вместе, чтобы получилась куча песка. Этот же спор эквивалентен спору о том, в каком возрасте человек становится «старым» или сколько волосинок должно выпасть, чтобы он был «лысым».

Эта неопределенность смысла языковых конструкций представляет собой одну из основных трудностей автоматизации анализа и синтеза речи, автоматического перевода с одного языка на другой. Все сказанное мотивирует введение понятия лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе. Заметим, что расплывчатость – свойство не только естественного языка. Например, в математике с успехом применяется понятие «значительно больше» (») и приблизительно (≈).

Автор теории расплывчатых множеств – американский математик восточного происхождения А. Заде. Эта теория имеет интересные приложения в области искусственного интеллекта. Кратко изложим основные понятия этой теории.

Определение. Расплывчатым множеством A называется совокупность, состоящая из неопределенного числа элементов х.

Признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить элементы, входящие в это множество, от элементов, не входящих в него. В расплывчатом множестве должен существовать по крайней мере один элемент, который можно считать как принадлежащим к этому множеству, так и не принадлежащим к нему.

Определение. Функция _A(x) называется функцией принадлежности, если каждому элементу x соответствует число _A(x) [0,1], выражающее степень принадлежности этого элемента к множеству А.

Если _А(x) = 0, то x не принадлежит множеству A; если _A(x) = 1, то x принадлежит множеству А; если 0 < _A(x) < 1, то неизвестно принадлежит х или не принадлежит множеству А.

Если для всех элементов, принадлежащих множеству A, _A(х) = 0 или _A(x) = 1, то это не размытое множество.

Например, А – множеству чисел, удовлетворяющих условию x  5, соответствует функция

_A(x) = ,

т.е. А – обычное множество.

Характерным признаком размытого множества служит наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1. Например, множество R⁺ положительных чисел становится размытым, если положить

_A(x) = ,

так как есть основания считать нуль «отчасти положительным, а в чем-то отрицательным» числом.

Таким образом, расплывчатое множество определяется как совокупность упорядоченных пар вида (x, _А(x)), xХ.

Определение. Два расплывчатых множества равны A = В тогда и только тогда, когда _А(x) = _В(x) для всех х из Х.

Пример 1. X = Z, _А(x) = 0,3; _B(x) = 0,3.

Определение. Включение расплывчатого множества А в множество В определяется следующим образом: A В  _А(x) « _В(x) для всех х из Х.

Пример 2. X = N, _А(x) = 0,3; _B(x) = 0,5.

Определение. Расплывчатое множество A называется дополнением к расплывчатому множеству А  _А(x) = 1– _А(x).

Пример 3. X = N, _А(x) = 0,3; _A (x) = 0,7.

Определение. Пересечение размытых множеств A и B определяется как такое множество A B, что _AB (x) = min(_A(x), _B(x)).

Пример 4. В условиях примера 2 пересечением множеств А и В является множество А.

Определение. Объединением двух расплывчатых множеств называется такое множество A B, что _AB = max (_A(x), _B(x)).

Пример 5. В условиях примера 2 объединением множеств А и В является множество В.

Определение. Алгебраическим произведением двух расплывчатых множеств называется расплывчатое множество, обозначаемое AB, удовлетворяющее условию

_AB(x) = _A(x)·_B(x).

Пример 6. В условиях примера 2 алгебраическим произведением множеств А и В является множество X = N, _АВ(x) = 0,3·0,5 = 0,15.

Определение. Алгебраической суммой двух расплывчатых множеств называется расплывчатое множество, обозначаемое A + B, удовлетворяющее условию _A+B(x) = _A(x) + _B(x) – _A(x) · _B(x).

Пример 7. В условиях примера 2 алгебраическим произведением множеств А и В является множество X = N, _АВ(x) = 0,3 + 0,5 – 0,3·0,5 = 0,65.

Самое узкое и уязвимое место теории расплывчатых множеств – задание функции принадлежности _A(x) . Существует несколько способов её задания:

1. Эвристический – субъект сам придумывает некоторое правило, при помощи которого определяются степени принадлежности объектов к классу. Например, если размытое множество А означает множество хороших людей, то можно считать человека принадлежащим к этому множеству, если он соблюдает норму религиозной морали (светской);

2. Статистический – _A(x) определяется как выборочное среднее значение функций соответствий, задаваемых разными экспертами. Например, при экспертизе строительных проектов выясняют, какой из проектов, разработанных фирмами А, В, С, является качественным. Получены следующие выборочные средние баллов экспертов: _A = 0,4; _В = 0,7 _с = 0,5.

3. Интервальный – задаются интервалы пессимистичных и оптимистичных границ значений функции. Например, в условиях предыдущего примера нижнюю границу можно задать, выбрав минимальное значение экспертной оценки, а верхнюю границу – выбрав максимальное значение экспертной оценки.

Задача. Пусть заданы два размытых множества А и В, состоящие из имен, с соответствующими значениями функций принадлежности.

А = {RUR (0,4), USD (0,7), EUR (0,3)};

В = {AUD (0,5), JPY (0,8), GBP (0,45)}

Составить размытые множества A B, A B, AB, A+B.