29. Понятие «площади», ее измерение.

Задачи:

- Познакомить с понятием “площадь”

- Познакомить и научить пользоваться различными способами измерения площади

- Ввести понятие “единиц площади” и соотношение между ними

При ознакомлении необходимо опираться на практическое представление учащихся, что такое площадь.

Под площадью фигуры понимается такая положительная скалярная величина, которая определяется так:

- Равные фигуры имеют равные площади;

- Если фигура составлена из двух частей, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

Для того, чтобы измерить площадь фигуры её надо сравнить с площадью такой фигуры, площадь которой принята за единицу площади. В результате сравнения площади измеряемой фигуры с единицей площади получено некое действительное положительное число, которое называется численным значением измеряемой площади.

ME2 S(F)=X

S(F)=x*E2, где E2 – единица площади.

Из определения площади следуют свойства численных значений площадей:

Если фигуры равны, то численные значения их площадей равны при выбранной одной и той же единице площади. Те фигуры, которые имеют равные площади, наз. равновеликими.

Если фигура F составлена из фигур F1 и F2, то численное значение фигуры F будет равно сумме численных значений площадей F1 и F2 при одной и той же единице площади.

Численное значение площади квадрата, которое принимается за единичный, равно единице.

Если происходит замена единицы площади, то численное значение площади измеряемой фигуры изменяется, причём оно увеличивается во столько раз, во сколько раз новая единица площади меньше старой, и уменьшается во столько раз, во сколько раз новая единица площади больше старой.

В практической деятельности для измерения площадей фигур используются общестандартные единицы площади, такие как см2, дм2 и т.д.

Соотношение между некоторыми единицами площади:

1дм2 = 100см2

1см2 = 100мм2

1м2 = 10 000см2

1м2 = 100 дм2

Но существуют особые единицы площади с помощью которых измеряются площади различных земельных участков:

1га = 10 000м2

1 ар(а) = 100м2

Неразрывно с понятием площади связано понятие равносоставленные фигуры.

Равносоставленными фигурами называются фигуры состоящие из соответственно равных частей.

Если фигура равносоставлены, то они равновелики.

Известна следующая теорема Бойяи – Гервина: Два любых равновеликих многоугольника равносоставлены.

Существуют различные способы измерения фигуры. К одному такому способу относится измерение площади фигуры при помощи палетки.

Палетка представляет собой прозрачное полотно разделённое на равные между собой квадраты.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки её накладывают сверху на ту фигуру, которую нужно измерить. Следует отметить, что измерению площади фигуры при помощи палетки уделяется особое внимание в начальной школе. Учащимся предлагается самостоятельно на уроке труда изготовить инструмент для измерения площади криволинейной фигуры.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки, сначала подсчитывается количество квадратов, которые находятся полностью в границах измеряемой фигуры. Затем, подсчитать количество квадратов, которые не полностью находятся в границах фигуры, площадь которой измеряется. Полученное таким образом количество квадратов делится на 2 и прибавляется к тому количеству квадратов, которые полностью находятся в границах фигуры площадь которой измеряется. В результате мы имеем численное значение площади при единичной величине, которая представлена площадью квадрата использованного в палетке. Это неточное измерение; причём точное измерение зависит от величины квадратов на которые разделено полотно палетки.

Измерение фигуры с помощью палетки относится к прямым способам измерения площади.

Изучению понятия площади в курсе математики в начальной школе уделяется достаточно много внимания. Основой для изучения площади в курсе математики в начальной школе лежит представление о площади в их практической жизни. Они уже имеют представление о площади комнаты, стола, участка и т.д. Поэтому определение площади в явном виде учащимся начальной школы не даётся, но зато через выполнение практических заданий их представление о содержании понятия площади постепенно расширяется.

Сначала они выполняют те или иные задания, связанные со сравнением площадей различных фигур, причём они выполняются в визуальном плане. Затем учащиеся знакомятся с единицей площади, рассматривая их как площади квадратов длины сторон, которые равняются единице длины. Так под см2 следует понимать площадь квадрата, сторона которого равна 1 см., под дм2 – 1дм.

Очень важно демонстрировать учащимся модели единицы длины.

Используя различные модели единицы площади можно эмпирическим путём находить соотношение, которое существует между различными единицами площади.

Пример: Для того, чтобы дети узнали, что в 1дм2 находится 100см2, им следует предложить задания связанные с измерением площади квадрата со стороной в 1дм с помощью см2. В результате учащиеся в состоянии подсчитать, что в 1 дм2 100см2.

Понятие площади изучается в курсе математики в начальной школе постепенно, кроме измерения площади с помощью палетки, дети знакомятся и с другими, так называемыми, косвенными способами измерения площадей некоторых фигур, таких например, как прямоугольник, квадрат.

Эмпирическим путём, рассуждая методом неполной индукции, дети получают формулы для нахождения площади прямоугольника, в частности квадрата. Получив эти формулы, учащиеся для того чтобы найти площадь прямоугольника (квадрата) измеряют длины сторон прямоугольника и находят площадь.

Очень важно, что учащимся предлагается находить площади не только прямоугольника, но и площади других фигур, которые составлены их прямоугольника. Очень важно поощрять детей в нахождении площади этих фигур различными способами.

То разнообразие, которое представлено в задании по работе с площадями различных фигур, можно увидеть в учебниках, автором которых является Наталья Борисовна Истомина.