Билет №28
1.Фундаментальная система решения однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка (определение). Теорема об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения (доказать для уравнения 2-ого порядка)
Теорема: Если ф-ии у1(х), у2(х), …, уn(х)-образуют фундаментальную систему решений ур-я y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+p(n-1)(x)y’+p(n)(x)y=0 (3.2), то их линейная комбинация у=С1у1+С2у2+…+Сnyn является общим решением этого ур-я.
Док-во: n=2.
y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 (1)
Пусть у1(х) и у2(х) образуют ФСР ур-ия (1) на (a,b). Докажем, что линейная комбинация этих ф-ий (2)у=С1у1+С2у2 – общее решение ур-я (1).
Для С1 и С2 ф-ия (2) – есть решение (1) по Т3 о св-ах решений однород линейного ур-ия.
Покажем, что С1 и С2 можно подобрать так, что (2) будет решением удовлетворяющим любой системе нач условий.
Нач условия: х=х0, у(х0)= С1у1(х0)+ С2у2(х0).
Обозначим: у(х0)=у0, у1(х0)=(у1)0, у2(х0)=(у2)0, у’(х0)=у’0, у’1(х0)=(у’1)0, у’2(х0)=(у’2)0 .
у’(х0)= С1(у’1)0 + С2(у’2)0
Для того, чтобы (2) удовлетворяло системе нач ус-ий С1 и С2 должны быть системой ур-я:
(3)
система 2 линейных неоднородных ур-ий
W(x0)=
≠0,
т.к. у1(х) и у2(х) образуют ФСР
(1)→
у1(х) и у2(х) – линейно независимые х (a,b).
По т. Крамера(линейная алгебра): система (3) имеет единственное решение, поэтому произвольные постоянные С1 и С2 можно подобрать, чтобы (2) удовлетв системе нач условий.
Билет №29
1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение их общего решения в зависимости от корней их характеристического уравнения.
Билет №30
1.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Теорема об общем решении (доказать). Теорема о частном решении, если правая часть уравнения есть сумма двух функций.
Рассмотрим y’’+p1(x)y’+p2(x)y=f(x) (1) p1(x), p2(x) и f(x) непрерывны на (a,b).
Т1. Чтобы найти общее решение (1) достаточно найти какое нить частное решение этого ур-я и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного ур-я.
Док-во:
Пусть у1(х)-частное решение ур-я (1). y1’’+p1(x)y1’+p2(x)y1=f(x) или L(y1)=f(x). (2)
Введем новую ф-ию у по форме: у= y1+z (3)
Тогда (2) запишется в виде: L(y1+z)=f(x) (4). По св-ву аддитивности L(y1+z)=L(y1)+L(z)
L(y1)+L(z)=f(x).
С учетом (2): L(z)=0 или L(z)=z’’+ p1(x)z’+ p2(x)z=0 (5)
Ур-е (5)-однородное линейное ур-е соответствующее неоднородному ур-ю (1).
Общее решение ур-я (5) запишем: z=C1z1+C2z2, где z1 и z2- фундаментал система частных решений ур-я (5), C1 и C2-произвольные постоянные.
Тогда из (3): (6) y=y1+C1z1+C2z2 – решение ур-я (1).
Оказывается (6) – общ решение диф ур-я.
Т2. Пусть правая часть (1) – есть сумма 2ух ф-ий: f(x)=f1(x)+ f2(x), т.е. ур-е (1) записывается:
y’’+p1(x)y’+p2(x)y= f1(x)+ f2(x) (1!) и у1 – есть решение ур-я: y1’’+p1(x)y1’+p2(x)y1=f1(x)(7), а у2 – есть решение ур-я: y1’’+p1(x)y1’+p2(x)y1=f2(x)(8). Тогда у1+ у2 – решение ур-я (1!).
Док-во: у1 –решение (7): L(у1)= f1(x), у2 –решение (8): L(у2)= f2(x). L(у1+ у2)= f1(x)+f2(x)→
у1+ у2 – решение (1!)