Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №1

1.Функция двух переменных. Определение. Примеры функций. Предел и непрерывность функции. Теоремы о свойствах непрерывных функций. (сформулировать)

Опр: если в каждой точке М(х,у) из некоторого множества Е точек плоскости оху ставится в соответствие по известному закону число U, то говорят, что на множестве Е задана ф-я U=f(х,у) и U=f(х,у) – есть ф-я двух переменных.

Множество Е называется областью определения ф-ии. Если ф-я задана аналитически, то обл опр состоит из тех точек, для которых формула имеет смысл.

Примеры ф-й: Z=x2+y2, Е-вся плоскость.

Z=√1- x2-y2, формула годится только для тех точек М(х,у), которые удовлетворяют неравенству 1-x2-y2≥0 или x2+y2≤1. Здесь Е – это замкнутый круг с центром в точке (0,0) и радиусом 1.

Предел и непрерывность ф-ии. Пусть ф-я U=f(М) определена в некоторой окрестности точки М0, в точке М0 ф-я может быть неопределена.

Опр1: число А называется пределом ф-ии U=f(М) при стремлении точки М к точке М0, ε>0 Uδ0), такая что М Uδ0) (М≠М0) выполняется неравенство |f(М)-А|<ε.

Обозначение: или

Опр2: ф-я U=f(М) называется непрерывной в точке М0, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и . Если в точке М0 не выполняются условия непрерывности, то М0 называется точкой разрыва ф-ии f(М). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва.

Опр3: ф-ия U=f(М) называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теоремы:

1.Пусть Ф-Ии f(M) и g(M) непрерывны в т.А. Тогда ф-ии f(M)±g(M), f(M)*g(M) и f(M)/g(M) (если g(A)≠0) также непрерывны в т.А.

2.Теорема об устойчивости знака непрерывной ф-ии. Пусть ф-ия f(M) непрерывна в т.А. Тогда Uδ(А), в которой ф-ия сохраняет знак f(А).

3.Первая теорема Вейерштрасса. Пусть ф-ия f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е. Тогда она ограничена на этом множестве.

4.Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть ф-ия f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е. Тогда она принимает хотя бы в одной точке множества Е наибольшее значение и, хотя бы в одной точке, наименьшее значение.

5.Теорема об обращении ф-ии в нуль. Пусть ф-ия f(M) непрерывна в связной области Е. Если в двух точках М1 и М2 области Е ф-ия принимает значения разных знаков, например, f(М1)<0, f(М2)>0, то в этой области найдется точка М0 такая, что f(М0)=0.

Билет №2

1.Частные производные. Определение. Формулы и правила для их вычисления.

Пусть ф-ия Z=f(x,y) определена в точке М000) и некоторой ее окрестности. Независимой переменной х дадим приращение Δx, оставив то же значение у0 другой независимой переменной у. Тогда ф-ия получит приращение ΔxZ=f(х0+Δx,у0)-f(х00),которое называется частным приращением ф-ии по х. Аналогично определятся частное приращение ф-ии по у ΔуZ=f(х00+Δу)-f(х00).

Если обе независимые переменные получат приращения Δx и Δу, то ф-ия Z=f(x,y) получит приращение ΔZ= f(х0+Δx,у0+Δу)-f(х00), которое называется полным приращением ф-ии.

Опред: если сущ-ет , то его значение называется частной производной ф-ии f(x,y)по х в точке М000). Частную производную обозначают одним из символов:

, , Z’x, f’(x0,y0,z0), .

Аналогично, = - частная производная ф-ии f(x,y)по у в точке М000).

Из определения: формулы и правила для вычисления частных производных совпадают с формулами и правилами, указанными для ф-ии одной переменной, но нужно помнить, что вычисляется в предположении, что у-постоянная, а в предположении, что х-постоянная. Частные производные для ф-ии любого числа переменных определяются аналогично.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.