Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №11

1.Непосредственное интегрирование. Теорема об инвариантности формул интегрирования (доказать). Подведение под знак дифференциала.

Непосредственное интегрирование состоит в том, что заданный интеграл преобразуется к табличному путем тождественного преобразования подынтегрального выражения и использования линейных св-в интегралов.

Теорема об инвариантности формул интегрирования: все формулы интегрирования не зависят от характера переменной интегрирования. Если =F(x)+C (1), U=φ(x)-любая дифференцируемая ф-ия.Тогда =F(U)+C (2).

Док-во:

Из (1) получаем: f(x)dx=dF(x) (взяли дифференциалы от обеих частей)

Св-ва инвариантности дифференциалов 1ого порядка: формула не меняется, если вместо х подставили дифференцируемую ф-ию U= φ(x).

dF(U)=f(U)dU, = или =F(U)+C (св-во 3 интеграла).

К непосредственному интегрированию относят и подведение под знак дифференциала.

По определению дифференциала ф-ии: φ’(x)dx=d[φ(x)]. Преобразование по этой формуле называется подведением множителя φ’(x) под знак дифференциала.

Таблицу подведения под знак дифференциала для основных элемент ф-ий легко получить из таблицы интегралов, по св-ву: если =F(x)+C, то f(x)dx=dF(x).

Пример: =-cosx+C, sinxdx=-d(cosx)

При интегрировании подведением под знак дифференциала используют св-ва дифференциала:

1.d[φ(x)]=d[φ(x)+C]

2.d[Cφ(x)]=Cd[φ(x)]

3.d[φ(x)]=1/C d[Cφ(x)]

Билет №12

1.Интегрирование методом замены переменной (доказать формулу). Интегрирование по частям.

Метод замены переменных.

Пусть непосредственно вычислить не удается. Часто путем удачной замены переменной интеграл сводится к интегралу, который легко вычисляется.

Сделаем замену х=φ(t), потребуем, чтобы ф-ия удовлетворяла условиям:

1.ф-ия φ(t) непрерывна и строго монотонная на промежутке Т→сущ-ет обратная ф-ия t=φ(x) на Х(множество значений ф-ии φ(t) на промежутке Т)

2.ф-ия φ(t) имеет непрерывную производную φ’(t) на Т.

Тогда имеет место формула: = * φ’(t)dt (1), т.е. если * φ’(t)dt=F(t)+C (2), то =F[ψ(x)]+C (3)

Док-во:

Из (2): F’(t)=f[φ(t)]*φ’(t)=f(x)*φ’(t)

Чтобы док-ть (3) надо показать, что производная от правой части равна подынтегральной ф-ии.

Правило для отыскания производной сложной ф-ии:

dF[ψ(x)]/dx=dF/dt dψ(x)/dx=f(x)*φ’(t)*1/φ’(t)=f(x)

По правилу производной для обратной ф-ии: dψ(x)/dx=1/φ’(t).

По частям.

Пусть U(x)и V(x)-дифференцируемые ф-ии.

d(UV)=UdV+VdU

UdV=d(UV)-VdU→ =UV- - формула интегрирования по частям.

Для применения этой формулы нужно подынтегральное выражение в виде произведения UdV, так чтоб вычисления и была легче, чем вычисления исходного интеграла.

Рекомендации: 1. Если под знаком ∫ стоит алгебраический многочлен, умноженный на тригонометрическую или показательную ф-ию, то за U надо брать многочлен, а всё остальное за dV.

2.Если под знаком ∫ есть логарифмическая или обратная тригонометрическая ф-ия, то ее нужно брать за U, а всё остальное за dV.

Билет №13

1.Интегрирование дробно-рациональных функций.

Дробно-рациональные ф-ии-основной класс интегрируемых ф-ий, т.е. таких ф-ий, интегралы которых выражаются через элементарные ф-ии. Дробно-рациональные ф-ии: R(x)=Pn(x)/Qm(x), где Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, Qm(x)= b0+b1x+…+bnxn. Если n<m, то дробь R(x)-правильная, n≥m, то дробь неправильная.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной дроби, путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе. Т.к. интегрирование многочленов не вызывает трудностей, то задача интегрирования рациональной дроби сводится к правильной рациональной дроби.

Опред: правильные рац дроби вида: А/(х-а), В/(х-а)к, (Ах+В)/(х2+рх+q), где А,В,а,р,q-некоторые числа и х2+рх+q не разлагается на линейные множители, т.е. D=(p/2)2-q<0 называются простейшими рац дробями 1ого,2ого и 3его типа.

Интегрирование дробей 1ого и 2ого типов не вызывают трудностей: =A ln|x-a|+C (1), dx=B =B(x-a)-k+1/(1-k) +C (2)

Интегрирование дробей 3его проводится непосредственно.

Теорема: каждая правильная дробь Pn(x)/Qm(x) может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие определяется разложением её знаменателя Qm(x) на простые множители.

Известно, что всякий алгебраический многочлен разлагается единственным образом на множители типа х-а и квадратичные множители х2+рх+q, которые D=p2/4-q<0.

В разложении знаменателя пр.дроби:

1.всякому неповторяющемуся линейному множителю х-а соответствует одна дробь 1ого типа

2.всякому повторяющемуся линейному множителю (х-а)к соответствует к-дробей. Одна 1ого типа и (к-1) дробь 2ого типа.

3.всякому квадратичному множителю х2+рх+q отвечает 1дробь 3его типа.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.