Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №5

1.Производные от сложных функций двух переменных (доказать формулы). Полная производная.

Пусть ф-ии U=f(x;y) и V=φ(x;y) дифференцируемы в точке М000), а ф-ия Z=F(U;V) дифференцируема в точке N0(U0,V0) причем U0=f(х00), V0=φ(х00). Докажем, что сложная ф-ия Z=F[f(x;y);φ(x;y)] имеет частные производные δz/δx и δz/δy в точке М0.

Док-во:

Даём Δx, у=у0, получим ΔxU, ΔxV (частные приращения) и z получит Δz.

Δz= δz/δU ΔxU+ δz/δV ΔxV+α(ΔxU,ΔxV)ΔxU +β(ΔxU,ΔxV)ΔxV

α,β→0 при ΔxU→0, ΔxV→0

Δz/Δx= δz/δU ΔxU/Δx+ δz/δV ΔxV/Δx+ (α ΔxU/Δx+β ΔxV/Δx)→0

Пусть Δx→0; ΔxU,ΔxV→0 (U,V диффер в т. М0→непрерывны)

α,β→0

δz/δx=δz/δU δU/δx+ δz/δV δV/δx

Дадим Δу, оставив х= х0

δz/δy= δz/δU δU/δу+ δz/δV δV/δу

δz/δU, δz/δV в точке N0

δU/δx, δU/δу, δV/δx, δV/δу в точке М0.

Замечание:

Рассмотрим частный случай Z=F(U;V), U=f(x), V=φ(x).

Z=F[f(x);φ(x)]

δz/δx= δz/δU δU/δx+ δz/δV δV/δx – формула для отыскания полной производной.

Билет №6

1.Производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции двух переменных.

Пусть z=f(x,y), (x,y) D и дифференцируема в каждой точке этой области(имеет частные производные δz/δx и δz/δy в области D)

Пусть в точке М000) сущ-ет δ/δx(δz/δx)=δ2z/δx2 или z’’xx – частная производная 2ого порядка.

δ/δy(δz/δх)= δ2z/δyδx;

δ/δх(δz/δy)= δ2z/δхδу-смешанные частные производные.

δ/δy(δz/δу)= δ2z/δy2

Аналигично определяются частные производные n-ного порядка.

Теорема о смешанных производных:

Пусть z=f(x,y) имеет частные производные δz/δx, δz/δy, δ2z/δхδу, δ2z/δyδx в окрестности U(M0), причем δ2z/δхδу и δ2z/δyδx непрерывны в т.М0.

Тогда δ2z/δхδу=δ2z/δyδx.

Замечание: если условие непрерывности δ2z/δхδу и δ2z/δyδx в т.М0 не выполняется, то эти производные могут быть различны в т.М0.

Пусть ф-ия z=f(x,y), (x,y) D и дифференцируема в каждой точке этой области(имеет частные производные δz/δx и δz/δy в области D). Тогда в каждой точке области можно посчитать дифференциал.

dz= δz/δх*dx+ δz/δy*dy

dz зависит:1.от точки М(х,у); 2.от dx и dy.

Будем считать, что dx, dy – const, независимо от точки, в которой будем считать. dz=dz(x,y)

Пусть данная ф-ия имеет в обл D непрерывные частные производные 2ого порядка.

Покажем, что тогда dz имеет непрерывные частные производные 1ого порядка в обл.

δ/δх(dz)= δ/δх[δz/δх*dx+ δz/δy*dy]= δ2z/δx2*dx+ δ2z/δy2*dy –ф-ия непрерывна.

δ/δy(dz)= δ/δy[δz/δх*dx+ δz/δy*dy]= δ2z/δyδx*dx+ δ2z/δy2*dy – ф-ия непрерывна.

По теореме о достаточных условиях дифференцируемости ф-ия dz будет дифференцируема в каждой точке области D, поэтому можно говорить о дифференциале этой ф-ии.

d(dz)=d(δz/δх*dx+ δz/δy*dy)=δ/δх[δz/δх*dx+δz/δy*dy]dx+δ/δy[δz/δх*dx+δz/δy*dy]dy= δ2z/δx2*dx22z/δхδу*dydx+δ2z/δyδx*dxdy+δ2z/δy2*dy22z/δx2*dx2+2δ2z/δхδу*dydx+δ2z/δy2*dy2=d2z.

Дифференциалы ф-ии zпорядка выше 1ого определяются таким же образом.

Билет №7

1.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (доказать). Достаточные условия экстремума. (Сформулировать)

Пусть ф-ия z=f(x,y), (x,y) D. М000) – внутренняя точка этой области.

Опред1: Точка М000) называется точкой максимума ф-ии z=f(x,y),если U(М0) такая, что f(х00)> f(x,y) (x,y) U(М0).

Опред2: Точка М000) называется точкой минимума ф-ии z=f(x,y),если U(М0) такая, что f(х00)< f(x,y) (x,y) U(М0). Если ф-ия имеет максимум или минимум в данной точке, то говорят, что она имеет экстремум в данной точке.

Теорема «Необходимые условия экстремума»: если ф-ия z=f(x,y) имеет экстремум в М000), то каждая частная производная δz/δx и δz/δy в этой точке равна 0 или не сущ-ет.

Док-во:

Пусть в М000) ф-ия имеет максимум. Тогда U(М0) такая, что f(х00)> f(x,y) (x,y) U(М0). Будем сохранять значение у=у0, а значение х будем менять, т.е. будем рассматривать ф-ию на прямой у=у0. Тогда мы будем иметь ф-ию f(x,y0) одной переменной х. Если точка М(x,y0) U(М0), то выполняется неравенство f(х00)> f(x,y0). А это означает, что ф-ия одной переменной f(x,y0) имеет максимум в точке х0, следовательно ее производная ( )(х=х0 у=у0)=0 или не сущ-ет.

Точки, в которых δz/δx и δz/δy равны 0 или не сущ-ют называются критическими точками ф-ии z=f(x,y). Если ф-ия z=f(x,y) имеет точки экстремума, то они находятся только среди критических точек. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема «Достаточные условия экстремума»: Пусть ф-ия z=f(x,y) определена и непрерывна и имеет непрерывгные частные производные 1ого, 2ого порядков в окрестности критической точки М000), в которой f’х00)=0 и f’у00)=0. Тогда:

1.если определитель

Δ= =fxx’’(x0,y0)*fyy’’(x0,y0)-(fxy’’(x0,y0))2>0 и fxx’(x0,y0)>0, то в точке М0-ф-ия имеет минимум.

2.Если Δ<0 и fxx’(x0,y0)<0, то в точке М0-ф-ия имеет максимум.

3.если Δ<0, то ф-ия не имеет экстремума в точке М0.

4.если Δ=0, то экстремум в точке М0 мб и м не б. В этом случае требуется дальнейшее исследование.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.