Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №3

1.Дифференциируемость и дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. (Доказать)

Опр: ф-ия Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М000), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: ΔZ=A1 +A2Δy+α(Δx,Δy)Δx+β(Δx,Δy)Δy (1), где A1 A2 – некоторые числа, не зависящие от Δx и Δy, α(Δx,Δy) и β(Δx,Δy) – бесконечно малые ф-ии при Δx→0, Δy→0.

Условие дифференцируемости (1) можно записать: ΔZ=A1Δx+A2Δy+0(р) (2).

Если хотя бы одно из чисел A1 A2 отлично от 0, то сумма A1Δx+A2Δy представляет собой главную, линейную относительно Δx и Δy часть приращения ф-ии в точке М000). Ее называют дифференциалом ф-ии Z=f(x,y) в точке М000) и обозначают dz или df.

Т.Необходимые условия дифференцируемости. Если ф-ия Z=f(x,y) дифференцируема в точке М000), то:

1.Ф-ия непрерывна в этой точке

2.Сущ-ют в этой точке частные производные df/dx и df/dy, причем A1=df/dx, A2=df/dy.

Док-во:

1.Из условия дифференцируемости Ф-Ии в данной точке следует, что , а это означает, что ф-ия непрерывна в точке М000).

2.Из условия (1) частное приращение ф-ии по х в точке М0 равно ΔxZ= A1Δx+αΔx. Тогда ΔxZ/Δx=A1+α, а , т.к. α→0 при Δx→0, Δy→0. Аналогично А2=df/dy.

Следствие: условие дифференцируемости ф-ии в данной точке М0 можно записать в виде: ΔZ=df(х00)/dx Δx+ df(х00)/dy Δy+0(р) или ΔZ=dZ+0(р), где dZ= df(х00)/dx Δx+ df(х00)/dy Δy.

Билет №4

1.Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных. (Доказать)

Пусть ф-ия Z=f(x,y) имеет в окрестности точки М000) частные производные df/dx и df/dy причем эти частные производные непрерывны в точке М0. Тогда ф-ия Z=f(x,y) дифференцируема в точке М000).

Док-во:

Дадим независимым переменным приращения Δx и Δy такие, чтобы точка М00+Δx,у0+Δу) U(М0). Полное приращение ф-ии ΔZ=f(х0+Δx,у0+Δу)-f(х00) представим в виде ΔZ=[f(х0+Δx,у0+Δу)- f(х00+Δу)]+[f(х00+Δу)-f(х00)] (1).

Выражение [f(х0+Δx,у0+Δу)- f(х00+Δу)] стоящее в первой квадратной скобке, можно рассматривать как приращение ф-ии f(х00+Δу) одного переменного х на отрезке [х00+Δx] (значение не меняется). По условию, ф-ия Z=f(x,y) имеет частные производные в U(М0), поэтому ф-ия f(х00+Δу) имеет производную по х, равную df/dx.

Применим теорему Лагранжа (f’(c)=f(b)-f(a)/b-a) к ф-ии f(х00+Δу) на отрезке [х00+Δx]:

f(х0+Δx,у0+Δу)-f(х00+Δу)=Δx df/dx(0+Δу) (2) где х0< <х0+Δx.

Аналогично получим f(х00+Δу)-f(х00)=Δу df/dy(х0, ) (3) где у0< <у0+Δу. Подставляя выражения 3 и 2 в равенство 1, получим ΔZ=Δx df/dx( ,у0+Δу)+ Δу df/dy(х0, ) (4).

Т.к., по условию теоремы, частные производные непрерывны в т.М0, то

0+Δу)/dx=df(х00)/dx фигскобка

= df(х00)/dy (5)

( →х0, →у0 при Δx→0, Δy→0). Из равенств 5 следует:

df( ,у0+Δу)/dx=df(х00)/dx+α фигскобка

df(х0, )/dy= df(х00)/dу+β (6)

С учетом 6, выражение 4 запишем в виде ΔZ= df(х00)/dx Δx+ df(х00)/dу Δу+αΔx+βΔу (7)

Следовательно, ф-ия Z=f(x,y) дифференцируема в т.М0.

Замечание:будем называть приращения независимых переменных Δx и Δу дифференциалами независимых переменных и обозначать dx dy соответственно.

Тогда дифференциал ф-ии в т.М0 записывается в виде: ΔZ= df(х00)/dx dx+ df(х00)/dу dy.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.