Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №24

1.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

1.Ур-я вида y(n)=f(x) (1). Этот тип ур-й играет важную роль, потому что к нему сводятся ур-я других видов.

Порядок ур-я понижается путем последовательного интегрирования.

Т.к. y(n)=(y(n-1))’, то ур-е y(n)=f(x) можно переписать так: (y(n-1))’=f(x), откуда y(n-1)= +C1.

Интегрируя еще раз: y(n-2)=∫( +C1x+C2.

Продолжая далее, после n интегрирований получим общее решение ур-я (1): у=∫dx∫dx… +C1x(n-1)+C2x(n-2)…+Cn-1x+Cn

2.Ур-я вида y’’=f(x,y’) не содержащие явно искомой ф-ии у. Это позволяет понизить порядок ур-я при помощи подстановки y’=p(x). Тогда y’’=p’(x). Подставив выражение производных в ур-е y’’=f(x,y’), получим ур-е первого порядка относительно неизвестной ф-ии р(х): p’=f(x,p). Проинтегрировав это ур-е, найдем его общее решение p=p(x,C1), а затем общее решение ур-я: у=∫p(x,C1)dx+C2.

Замечание: аналогично интегрируя ур-е вида y(n)=f(y(n-1)). Полагая y(n-1)=р, получим для определения р ур-е 1ого порядка p’=f(p), откуда =dx, р=р(х,С1) или y(n-1)=р(х,С1). Это ур-е вида y(n)=f(x).

Билет №25

1.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема Пикара о существовании и единственности решения (не доказывать). Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Теорема о свойствах частных решений линейного однородного уравнения (доказать).

Линейным диф ур-ем n-ного порядка называется ур-е вида:

y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+p(n-1)(x)y’+p(n)(x)y=f(x) (1)

Теорема Пикара о существовании и единственности решения для линейного ур-я: если в ур-ии (1) все коэффициенты ур-я p1(x), p2(x), …, p(n)(x) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (a,b), то оно имеет единственное решение у=ф(х), удовлетворяющее начальным условиям: у=у0, y’=y’0, …, y(n-1)=y0 (n-1) при х=х0, где х0 (a,b), а у0, y’0,…, y0 (n-1)-любые заданные числа. Это решение определено и n раз дифференцируемо во всем интервале (a,b).

Если в (1) правая часть f(x) тождественно равна 0 в интервале (a,b), то ур-е (1) принимает вид: y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+p(n-1)(x)y’+p(n)(x)y=0 (2) и называется линейным однородным ур-ем.

Если f(x)≠0 в интервале (a,b), то ур-е (1) называется линейным неоднородным ур-ем.

Для сокращения записи введем линейный дифференциальный оператор:

L(y)= y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+p(n-1)(x)y’+p(n)(x)y (3)

L – ставит в соответствие каждой ф-ии у(х) новую ф-ию L(y).

Оператор L(y) обладает след осн св-ми:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак оператора: L(Cy)=CL(y)-св-во однородности.

2.Оператор от суммы 2ух ф-ий равен сумме операторов от этих ф-ий: L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)-св-во аддитивности.

Теорема о св-ах частных решений линейного однородного ур-я.

Т1: если ф-ия у1 есть решение линейного однородного ур-я (2), т.е. L(y1)Ξ0, то ф-ия Сy1, где С-произвольная постоянная, тоже является решением этого ур-я.

Док-во:

По св-ву однородности линейного оператора: L(Cy1)=CL(y1). Но по условию теоремы, L(y1)Ξ0, поэтому CL(y1)Ξ0, а это и означает, что Cy1 есть решение ур-я (2).

Т2: если ф-ии у1 и у2 – решения ур-я (2), то их сумма у= у1+ у2 тоже является решением ур-я (2).

Док-во:

По св-ву аддитивности оператора L(y1+y2)=L(y1)+L(y2). По условию теоремы L(y1)Ξ0, L(y2)Ξ0. Поэтому L(y1+y2)Ξ0, т.е. ф-ия у= у1+ у2 –решение ур-я (2).

Т3: если ф-ии у1, у2,…,уn- решения ур-я (2), то их линейная комбинация у=С1у12у2+…+Cnyn, где С12,…,Сn – произвольные постоянные, тоже являются решением ур-я (2).

Док-во:

По Т1 каждая из ф-ий С1у1, С2у2, …, Cnyn является решением ур-я (2).

По Т2 ф-ия 1= С1у12у2 есть решение ур-я (2), ф-ия 2= 1+ С3у3-решение ур-я (2) и тд.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.