Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №8

1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).

Пусть ф-ия U=f(x,y,z) задана в некоторой пространственной обл V. (x,y,z) V. В этом случае задано скалярное поле в обл V.

Пример: Если в каждой точке некоторого объема известно давление газа, задано поле давления газа.

Производная по направлению: в обл V задано скалярное поле. Пусть М000,z0) V.М10+Δх,у0+Δу,z0+Δz).

ΔS= = , ΔU=U(M1)-U(M0)

Опред: если сущ-ет lim отношения: , то он называется производной по направлению ф-ии U в т.S по направлению ΔS.

δU/δS>0, то U↑ в т. M0,

δU/δS<0, то U↓ в т. M0.

Градиент: в обл V задано скалярное поле и в каждой точке поля определен вектор U=δU/δx +δU/δy +δU/δz (частные производные в данной точке)

Теорема: δU/δS=пр. U= cosφ (φ=(. , U)), ф-ия дифференцируема в обл V.

1.Производная по направлению в данной точке есть:

δU/δS= δU/δx cosα+δU/δy cosβ+δU/δz cosγ (1)

(αβγ)-углы с осями координат

т.к. U(x,y,z) дифференцируема в обл V, то ее приращение можно записать:

ΔU= δU/δxΔх+δU/δyΔу+δU/δzΔz+о(ΔS) (2)

Поделим левую,правую части на ΔS:

ΔU/ΔS= δU/δx Δх/ΔS +δU/δy Δу/ΔS+δU/δz Δz/ΔS+о(ΔS)/ΔS (3)

Δх/ΔS=cosα, Δу/ΔS=cosβ, Δz/ΔScosγ – направляющие косинусы вектора

В равенстве (3) переходим к пределу при ΔS→0.

δU/δS|М0= δU/δx|М0cosα+δU/δy|М0cosβ+δU/δz|М0cosγ

Док-во:

(орт-вектора S)=

Подсчитаем скалярное произведение:

U = δU/δx cosα+δU/δy cosβ+δU/δz cosγ – производная по направлению в данной точке δU/δS|М0.

U = cosφ= cosφ= пр. U (4),чтд

Из формулы (4): δU/δS= пр. U= cosφ (5)

Следствие из теоремы: cosφ=1, δU/δS= -самое большое значение (φ=0)

Билет №9

1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).

Ф-ия у=f(x) называется неявной,если она задана с помощью ур-я F(x,y)=0, не разрешенного относительно у.

Пример: F(x,y)=х22-1

Теорема о существовании и дифференцируемости неявной ф-ии: Пусть F(x,y), (x,y) U(х00) и выполняются условия:

1. F(x,y), F’x, F’у-непрерывны в U(х00)

2. F(х00)=0

3. F’у00)≠0

Тогда: прямоугольная окрестность (х00).

П(х00)= , в которой F(x,y)=0 определяет у=f(x), х (х0-δ,х0+δ). Эта ф-ия непрерывна и имеет непрерывную производную y’=f’(x)= -F’x/F’у, х (х0-δ,х0+δ).

Билет №10

1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

Опред1: ф-ия F(x) называется первообразной для f(x) на Х, если сущ-ет F’(x),х Х и F’(x)=f(x).

Опред2: совокупность всех первообразных ф-ий для данной ф-ии f(x),х Х называется неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается =F(x)+C, F’(x)=f(x).

Интегрирование – отыскание для f(x) всех первообразных.

Основные св-ва неопределенного интеграла:

1.( )’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2.d( )=d(F(x)+C)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx

3. = =F(x)+C

Св-ва линейности:

1. = ±

2. =k

Таблица основных интегралов:

1. =C

2. =x+C

3. =xn+1/n+1+C

4. =ln|x|+C

5. =ax/lna+C

5’. =ex+C

6. =-cosx+C

7. =sinx+C

8. =tgx+C

9. =-ctgx+C

10. =arcsinx+C

10’. =arcsin x/a+C

11. =arctgx+C

11’. =1/a arctg x/a+C

12. =ln|x+ |+C

13. =1/2a ln +C

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.