Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №14

1.Вычисление R(Sinx,Cosx)dx (1). Универсальная и частная замены. Вычисление ∫SinmxCosnx dx. Тригонометрические замены.

Подынтегральная ф-ия-рациональная ф-ия, аргументами которой являются sinx, cosx. Этот интеграл при помощи универсальной замены t=tg x/2 приводится к интегралу от рац ф-ии переменной t, т.к. sinx, cosx, dx рац выражаются через t=tg x/2.

Sinx=(2tgx/2)/(1+tg2x/2)=2t/(1+t2), cosx=(1-tg2x/2)/(1+tg2x/2)=(1-t2)/(1+t2), x/2=arctgt, dx=2dt/(1+t2)

Т.к. рациональная ф-ия от рациональных ф-ий есть ф-ия рациональная, то подставив эти выражения (1), получим интеграл от рациональных ф-ий.

=

Универсальная замена t=tg x/2 позволяет проинтегрировать любую ф-ию R(Sinx,Cosx), однако может привести к трудоёмким вычислениям.

Если выполняется условие R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), т.е. sinx, cosx входят под знак интеграла только в четных степенях, то удобнее применять частную подстановку t=tgx. При этом:

Cos2x=1/(1+tg2x)=1/(1+t2), sin2x=tg2x/(1+tg2x)=t2/(1+t2), x=arctgx, dx=dt/(1+t2), т.е. Cos2x, sin2x, dx выражаются рационально через t. Поэтому выполнив замену переменной t=tgx, получим интеграл от рациональной ф-ии переменной t.

К интегралу вида (1) относится также ∫SinmxCosnx dx, просто этот ∫ вычисляется в след случаях:

1.либо m либо n – нечетное число. (n-нечетное: t=sinx; m: t=cosx)

2.(m+n) – чётное отрицательное число: t=tgx

3. m и n – чётные числа, используем формулы понижения степени: cos2x=(1+cos2x)/2, sin2x=(1-cos2x)/2.

Тригонометрические замены: к интегралу вида ∫R(Sinx,Cosx)dx приводятся интегралы:

∫R(x, dx при помощи замены х=asint

∫R(x, dx при помощи замены х=atgt

∫R(x, dx при помощи замены х=a/sint

Билет №15

1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.

Пусть на отрезке [a,b] задана ф-ия у=f(x). Произвольно выберем на отрезке [a,b] точки

а=х01i-1,xi,…,хn=b. Такой набор точек xi, i=1,2,..,n будем называть разбиением отрезка [a,b] и обозначать Т. Обозначим Δxi= xi - хi-1 – длина отрезка. [хi-1, xi]; λ=maxΔxi, 1≤i≤n, будем называть параметром разбиения. В каждом из отрезков [хi-1, xi] произвольно выберем т.сi. Набор точек {сi}={c1,c2,…,cn} будем называть промежуточными точками. Составим сумму: f(c1)Δx1+ f(c2)Δx2+…+ f(cn)Δxn= =σ (1). Эта сумма – интегральная сумма для ф-ии f(x) на отрезке [a,b], соответствующая данному разбиению Т отрезка [a,b] и данному набору промежуточных точек {сi}.

Опред1: Число J называется пределом интегральной суммы при λ→0: J= , если ε>0 δ>0 такое, что с λ(Т)<δ и (независимо от набора промежуточных точек) выполняется неравенство <ε.

Опред2: ф-ия f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], если сущ-ет = J. Величина этого предела называется определенным интегралом от данной ф-ии по данному отрезку и обозначается . Числа а и в называются соответственно нижним и верхним пределом интеграла, х – переменной интегрирования. Определенный интеграл(число) не зависит от того, какая стоит переменная под интегралом, ее можно обозначить любой буквой = , а зависит только от ф-ии f(x) и отрезка [a,b].

Т о сущ-нии определенного интеграла: если ф-ия f(x)непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла: пусть f(x)≥0, х [a,b]. Тогда число равно площади прямоугольника с основанием Δxi= xi - хi-1 и высотой f(ci). Следовательно интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, образованной из прямоугольников с основаниями и высотами соответсвенно: .

Площадь этой ступенчатой фигуры σ≈S – площадь криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной графиком ф-ии у= f(x), 2умя прямыми х=а и х=в и отрезком[a,b] оси 0х. Т.о. σ= ≈S.

Погрешность этого равенства будет тем меньше, чем меньше длина каждого отрезка разбиения , т.е. чем меньше λ. Точное значение площади криволинейной трапеции: S= = .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.