Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
2.25 Mб
Скачать

Билет №20

1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Формы записи. Задача Коши. Теорема Коши (сформулировать). Общее и частное решение дифференциального уравнения y=f(x,y), общий и частный интегралы (дать определения).

Дифференциальное ур-е первого порядка в общем виде записывается так: F(x,y,y’)=0 (1).

Если это возможно, то (1) удобно записывать в форме, разрешенной относительно производной: y’=f(x,y) (2) или в форме, содержащей дифференциалы M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (3).

От формы (2) легко перейти к форме (3) и наоборот, имея в виду, что: y’=dy/dx.

Задача Коши: пусть нам задано диф ур-е (2). Среди всех решений диф ур-я y’=f(x,y) найти такое, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е., чтобы оно принимало заданное значение у0 при заданном значении независимой переменной х0.

Геометрически это означает, что среди всех интегральных кривых диф ур-я (2) требуется найти ту, которая проходит через заданную точку М000). При каких условиях решение задачи Коши сущ-ет и единственно? Наиболее простые из них дает следущая теорема существования и единственности решения дифференциального ур-я первого порядка.

Теорема Коши: пусть ф-ия f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную δf/δy в некоторой области D на плоскости хоу. Тогда для любой внутренней точки М000) этой области найдется интервал, содержащий х0, на котором сущ-ет единственное решение у=ф(х) ур-ия y’=f(x,y), удовлетворяющее условию у=у0 при х=х0.

Геометрический смысл: теорема означает, что через каждую внутреннюю точку М000) области Dобязательно проходит интегральная кривая ур-я (2) и эта кривая единственна в пределах обл.(никакой другой кривой через точку М000) в пределах обл не проходит).

Из теоремы следует, что диф ур-е (2) имеет бесчисленное множество решений, т.к. через каждую внутреннюю точку области проходит интегральная кривая.

Опред1: пусть в обл D правая часть диф ур-я (2) f(x,y) удовлетворяет условиям теоремы Коши. Ф-ия у=ф(х,С), которая зависит от одного произвольного постоянного С, называется общим решением диф ур-я y’=f(x,y) в обл D, если она удовлетворяет условиям:

1.ф-ия ф(х,С) удовлетворяет диф ур-ю при любом численном значении С

2.для любой внутренней точки М000) D сущ-ет единственное постоянное значение С=С0, такое что решение у=ф(х,С0) удовлетворяет начальному условию у=у0 при х=х0. При решении диф ур-я не всегда удается получить общее решение в явном виде у=ф(х,С). Равенство вида Ф(х,у,С)=0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом диф ур-я.

Опред2: любая ф-ия у=ф(х,С0), которая получается из общего решения у=ф(х,С) при конкретном значении С=С0, называется частным решением диф ур-я. Соотношение ф(х,у,С0)=0 называется частным интегралом диф ур-я.

График кажд частного решения – интегральная кривая. Общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра.

Билет №21

1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.

Диф ур-е вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ии, зависящие соответственно только от х и только от у, называется диф ур-ем с разделенными переменными.

Теорема: общий интеграл диф ур-я (1) дается формулой: + =C.

Диф ур-е первого порядка называется ур-ем с разделяющимися переменными, если мб представлено в виде: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2), где каждая из ф-ий P и Q разлагается на множители, зависящие только от одной переменной х или у, т.е. ур-е (2) можно записать так: f1(x)f2(y)dx+ф1(х)ф2(у)dy=0 (3).

Разделим ур-е (3) на f2(y)φ1(x): + =0. Получили ур-е с разделенными переменными, общий интеграл которого согласно теореме дается формулой: + =С (4)

Замечание: при делении обеих частей ур-я (3) на f2(y)φ1(x) мы могли потерять решения, определяемые ур-ми f2(y)=0 и φ1(x)=0

Пусть у=b-корень ур-я f2(y)=0. Подставим у=b в ур-е (3): f1(x)f2(b)dx+ф1(х)ф2(b)db=0, т.к. f2(b)=0, db=0→ у=b есть решение ур-я (3). Аналогично, если х=а-корень ур-я, ф1(х)=0, то х=а – решения ур-я (3).

Если такие решения у=b и х=а не входят в семейство (4), т.е. не получаются из (4) ни при каких числовых значениях С, то они являются особыми решениями ур-я (3). Из решения у=b нужно исключить точку с абсциссой х=а, т.к. в точке (а,b) ур-е (3) не определяет наклон поля у’. Из решения х=а следует исключить точку с ординтой у=b.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.