2.2. Функция распределения.
В предыдущем разделе мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для д.с.в. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины ( н.с.в.) такую характеристику построить нельзя, так как составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения непрерывной случайной величины, невозможно. Следовательно, для н.с.в. не существует ряда распределения в том смысле, в котором он существует для д.с.в. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для н.с.в. существует « распределение вероятностей », хотя и не в том смысле, как для д.с.в.
Для количественной оценки этого распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х < х, где х- некоторая текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция от Х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F ( x ): F ( x ) = P ( X < x ).
Функцию распределения F ( x ) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения F ( x ) - универсальная характеристика случайной величины. Она существует как для н.с.в., так и для д.с.в. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Сформулируем общие свойства функции распределения.
1.
Функция распределения F
( x
) есть неубывающая функция своего
аргумента, т. е. при х2>
x1
F
( x2
)
F
( x1
).
2.
На минус бесконечности функция
распределения равна нулю: F
( -
)
= 0.
3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+ )=1.
Функция распределения любой д.с.в. всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках соответствующих возможным значениям с.в. и равны вероятностям этих значений.
F(x)
F(x)
1
1
0
x1 x 2 x3 X X
F(x)
1
X
Сумма всех скачков функции F ( х ) равна единице. По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становиться более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения- к непрерывной функции.