8.4. Дробный факторный эксперимент.

8.4.1.Минимизация числа опытов.

Во многих практических задачах на первом этапе исследования в первом приближении нужно получить лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи. Количество опытов в полном фактором эксперименте значительно превосходит число коэффициентов линейной модели. Сокращение количества опытов возможно при использовании дробного факторного эксперимента.

Обратимся к матрице полного факторного эксперимента 2² (табл. 8.6). Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде уравнения

(8.13)

Как и в случае, корреляционно-регрессионного анализа, оно является оценочным по отношению к теоретическому уравнению

(8.14)

Коэффициенты регрессии являются оценками параметров , что в символической форме можно записать следующим образом:

Предположим что взаимодействие факторов х₁ и х₂ отсутствует. Тогда достаточно определить коэффициенты b₀ ,b₁ и b₂, так как . В этом случае вектор – столбец матрицы 2² можно использовать для нового фактора x_3. Преобразуем матрицу полного факторного эксперимента 2².

Вместо взаимодействия х₁ х₂ поставим фактор х₃ и добавим два столбца произведений х₁ х₃ и х₂ х₃. В результате преобразований получим новую матрицу (табл. 8.9).

Таблица 8.9

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3(Х1Х2)	Х1Х3	Х2Х3
1 2 3 4	+ + + +	+ - + -	+ + - -	+ - - +	+ + - -	+ - + -

Полученная матрица планирования обладает всеми свойствами матрицы полного факторного эксперимента, т.е. каждый столбец матрицы, кроме первого, содержит равное число +1 и -1. Следовательно, сумма плюсов и минусов каждого столбца равна нулю. Сумма произведений каждой пары столбцов, исключая два последних, также равна нулю. Особенность новой матрицы заключается в том, что элементы столбца х₁ х₃ совпадают с элементами столбца х₂, а элементы столбца х₂ х₃- с элементами столбца х₁ , т.е. если с помощью новой матрицы определить коэффициенты уравнения регрессии

то соответствие будет нарушено, так как найденные коэффициенты будут оценками для совместных эффектов:

Поскольку постулируется линейная модель, то предполагается, что эффекты взаимодействия равны нулю и поэтому

2. Дробная реплика

При постановке четырех опытов для оценки влияния трех факторов (табл. 6.9) была использована половина полного факторного эксперимента 2³ -« «полуреплика». Если х₃ прировнять к – х₁х₂, то можно получить вторую половину матрицы 2³

При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 2³ . Объединение этих двух полуреплик и есть полные факторный эксперимент 2³.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четверть-репликой от эксперимента 2⁵. В последнем случае уже два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться обозначением . Так, полуреплика от 2⁶ запишется в виде , а четверть-реплика от 2⁵ - в виде 2^5-1 (табл. 8.10).