- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
«Черный ящик »
X1
Y1
X2 Y2
Xi Yi
Xn Yn
Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Мы обозначим их буквой Y и назовем параметрами оптимизации. Встречаются и такие названия: критерий оптимизации, целевая функция, выход "черного ящика". Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение "черного ящика". Все способы воздействия мы обозначим буквой Х. Их назовем факторами (их называют также входами черного ящика). При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Под математической моделью понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так
y= f ( x1, x2,..., xk ) ,
где f называется функцией отклика.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний "черного ящика". Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебирать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний данного "ящика". Это будет число возможных различных опытов. Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести в степень числа факторов k : p k , где
p - число уровней. Так, для системы с пятью факторами на пяти уровнях имеем 3125 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона. Как видно перебор весьма велик. Найти оптимум весьма сложно. Тогда возникает вопрос: сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу. Здесь- то и приходит на помощь планирование экстремального эксперимента. Планирование экстремального эксперимента - это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, т.е. для решения поставленной задачи.
8.2. Выбор модели.
Выше говорилось о том, что под моделью понимается вид функции отклика y= f ( x1, x2, ... , xk ). Выбрать модель - это значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но как выбрать модель? Чтобы постепенно продвигаться к ответу на этот вопрос, построим геометрический аналог функции отклика - поверхность отклика. Отметим, что в случае многих факторов геометрическая наглядность теряется. Мы попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыков ориентирования. Мы рассмотрим простой пример. Необходимо геометрически изобразить возможные состояния "черного ящика" с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с обычной декартовой системой координат. По одной оси координат будем откладывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси - второго. Тогда каждому состоянию "ящика" будет соответствовать точка на плоскости. У каждого фактора существует область определения, т.е. минимально и максимально возможные значения, между которыми он может измениться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям "черного ящика".
,
X1 X1
x1 max
x1 min
x2 min x2 max X2 Х
Рис.1
Х
Рис. 2
Пунктирными линиями на рис.1 обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными - границы их совместной области определения. Чтобы указать значения параметров оптимизации, требуется еще одна ось координат. Если ее построить, то поверхность отклика будет выглядеть как на рис. 2. Пространство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно.
Исходя из задачи главное требование, предъявляемое к модели - это способность предсказать направление "крутого восхождения", те направления движения к оптимальной точке. Так как мы не знаем до получения модели, какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому требованию, называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.
Y
xmin xmax X
Рис.3
На рисунке изображена логарифмическая функция. На некотором отрезке [ x min , x max ] она с удовлетворительной точностью описывается двумя уравнениями
Y = log b X (8.1) и Y = bX (8.2)
Проще - уравнение (8.2) - иначе говоря, полином первой степени. При выборе уравнений наиболее распространенные модели - полиномиальные. Рассмотрим различные полиномы для случая двух факторов:
полином нулевой степени: y = b0;
полином первой степени: y = b0 +b1x1;
полином второй степени: y = bo+ b1x1 + b2x2 + b12x1x2 +
+b11x12 + b22x22;
полином третьей степени: y = bo+ b1x1 + b2x2 + b12x1x2 +
+ b11x12 + b22x22 + b112x12x2 + b122x1x22 + b111x13 + b222x3.
Итак, предлагается заменить неизвестную функцию отклика полиномом, т.е. аппроксимировать.
Какой из полиномов выбирают на первом этапе? Естественно полином первой степени. После каждой серии опытов определяются коэффициенты полинома, проверяется адекватность моделей. Эти серии опытов проводятся до тех пор, пока мы не достигнем области оптимума. Здесь линейная модель уже не нужна, а осуществляется переход к более высоким полиномам, чтобы более подробно описать область оптимума.