- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра одним числом. Такая оценка называется точечной. В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать - к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и замена на может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными вероятностями и доверительными интервалами.
Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Необходимо оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например, = 0,95 ; 0,99 или 0,99) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого
Р(| - | < ) =
Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью = 1- . Перепишем следующее уравнение в следующем виде:
P( - < < + ) =
Равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал
I =( - , + ).
I
0 1 2
Для нахождения доверительных интервалов необходимо знать заранее вид закона распределения величины X. Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины X. Однако, иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины X к какой-либо другой функции наблюденных значений x1,x2,... ,xn закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов n и от закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины X.
Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина t =[ -М(x)]/
подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента, где:
/ n ; = S/ .
Исходя из этого уравнение , можно записать в следующем виде: P ( - < M ( x ) < + ) = ;
Величина t, которая табулирована, определяется с помощью функции Лапласа. Например, если - уровень доверительной вероятности - принят равным 0,95, то величина t = 1,96. Следовательно, доверительный интервал будет иметь начальную точку M (x) –1,96 S / и конечную точку M (x) + 1,96 S / .
Внутри этого интервала будет находится неизвестное значение M(x) с вероятностью 0,95.
Примечание. Использование функции Лапласа для нахождения доверительных границ возможно лишь при n > 25. Для n < 25 необходимо использовать таблицы распределения Стьюдента.
Рассмотрим определение доверительных интервалов для оценки 2 и . Для оценки 2 используется распределение Пирсона 2, которое также табулировано. Задавшись вероятностью и определив величину q = 1 - , определяют два значения 2. Одно- для вероятности P1 = 1 – q /2, обозначив его , другое - для вероятности P2 = q / 2 - .
Доверительные границы определяются, исходя из неравенства:
nS2/ < 2 < nS2 /
Доверительные границы для с той же доверительной вероятностью определяются из неравенства:
nS / 2 < nS / 1 .
Примечание. Указанные способы определения доверительных границ могут быть применены и для случая, когда распределение случайной величины неизвестно заранее. Однако в этом случае границы будут определены лишь грубо, приближенно.
ЛЕКЦИЯ 5. ОБРАБОТКА ОПЫТОВ.
5.1. Определение характеристик эмпирического
распределения.
5.2. Сопоставление и проверка сходимости эмпирических
распределений с теоретическими (случай нормального
распределения).
5.3. Сопоставление эмпирического распределения
с распределением по закону равной вероятности.
5.4. Статистическая проверка гипотез.
5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
величины.
5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
(закон распределения нормальный).
5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
дисперсий.
5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
5.11. Выбор числа наблюдений.