8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. Если число факторов известно, то можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Чтобы определить число опытов, используется формула

N=2

где N - число опытов; k- число факторов; 2- число уровней.

Нетрудно составить все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами. Представим эти сочетания в виде таблицы (табл.8.1), где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента. Каждый столбец в матрице планирования называют вектором-столбцом, а каждую строку - вектором-строкой. В табл.8.1. два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации.

Таблица 8.1

Матрица планирования эксперимента 2

№ опыта	X1	X2	Y
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	y1 y2 y3 y4

То, что записано в этой таблице, в алгебраической форме, можно изобразить геометрически. Найдем в области определения факторов точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат, параллельные осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и равна двум интервалам. Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная квадратом называется областью эксперимента.

3 4

область

эксперимента

1 2

Рис. 4

Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквенные обозначения.

Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствии со строчной буквой латинского алфавита: Х₁-а, Х₂-b. Если теперь для строки матрицы плaниpoвaния выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать единицей (табл. 8.2)

Таблица 8.2

№ опыта	X1	X2	Буквенное обозначение строк	Y
1 2 3 4	- + - +	- - + +	1 a b ab	Y1 Y2 Y3 Y4

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко запомнить или найти прямым перебором, тo с ростом числа факторов построение матрицы усложняется. Поэтому для перехода от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности рекомендуется следующий прием. При добавления нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Следовательно, можно записать исходный план для одного нового, фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от эксперимента 2 к 2 (табл. 8.3)

Таблица 8.3