- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
Поиск оптимального значения функции отклика методом крутого восхождения включает следующие операции.
1. Проводится полный или дробный факторный эксперимент с центром в точке ( ).
2. Выполняется статистический анализ полученных данных и, в частности, вычисляются оценки параметров, т.е. коэффициенты регрессии bi, i=1,2,…,k которые являются составляющими вектор-градиента.
3. Выбирается несколько значений параметра λ , определяющего положение точек на линии крутого восхождения. Выбор таких значений осуществляется следующим образом:
1. Вычисляется произведение biYi .
2. Определяется базовый фактор, для которого произведение biYi является наибольшим по абсолютной величине.
3. Выбирается значение параметра λ=λ1 для первого шага в направлении крутого восхождения. Это значение выбирается таким образом, чтобы величина , т.е. сдвиг по базовому фактору от основного уровня, у была равна интервалу варьирования Iв по этому фактору или части этого интервала т.е. .
Это условие выражается соотношением
(6.18)
Отсюда
(6.19)
4. Вычисляются шаги и координаты первой точки крутого восхождения. В соответствии с выражениями (6.17) и (6.19) они находятся по уравнениям
(6.20)
При необходимости численные значения величин округляются.
Находятся шаги и координаты последующих точек на этой линии:
(6.21)
где h = 1,2,3,4,... - номер шага в направлении крутого восхождения.
Из всех реализованных опытов выбирается тот, который дал наилучшие результаты.
Выбор шага движения по градиенту относится к этапам планирования эксперимента, которые не формализованы. Небольшой шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг увеличивает вероятность проскакивания области оптимума. Движение по градиенту наиболее эффективно при симметричной функции регрессии (когда величины коэффициентов различаются несущественно, меньше, чем на порядок). Удачным выбором интервалов варьирования можно сделать симметричной любую линейную функцию для значимых факторов. Методику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере из области обработки металлов резанием [8].
Пример 6.7. Для повышения стойкости центровочных сверл решено оптимизировать значение факторов; угол при вершине 2φ, задний угол α , толщину сердцевины k. Критерием оптимизации служит показатель стойкости - количество просверленных отверстий. Испытания проводились до момента поломки сверла. На основе априорных данных выбраны основные уровни факторов, интервалы варьировании и реализован план эксперимента 2³ . Для оптимизации параметров сверл используем крутое восхождение,
Рассчитаем произведение biJi (строка 8, таблица 6.14). Наибольшим является произведение , поэтому фактор принимаем за базовый . Выбираем значение параметра λ=λ для первого шага при μ = 0,8. По уравнению (6.19) найдем λ (строка 9 , таблица 6.14): λ=0,8/126=0,00635.
Вычисляем шаги и координаты первой точки крутого восхождения по уравнениям (6.21):
= 4 ; 136о
= 4 ; 20о
0,07мм; 0,92 мм
Координаты последующих точек на этой линии находим по уравнениям (6.20). Далее выполняем опыты на линии восхождения. Результаты опыта заносим в последний столбец таблицы
Реализация опытов проводилась со второго шага, так как координаты точек x1, x2, x3 на первом шаге почти совпадают со значениями факторов на верхнем уровне.
Результаты опытов 2 и 3 дали наибольшее значение стойкости сверл, что соответствует значениям параметров 2φ=144-148o, α=28o-32o, k=1,1-1,2 мм. Нижний уровень значений параметров в эксперименте дал среднее значение стойкости 257 отверстий, в то время как оптимальные значения параметров дают стойкость в пределах 1600 - 1700 отверстий, т.е. в 6,5 раза больше. Уточнение оптимальных значений параметров возможно путем исследования достигнутой области оптимума c помощью планирования второго порядка [12].
Таблица 6.14
. |
Последова- тельность операций крутого восхождения |
Исследуемые факторы
ду^е ф^торц . , |
|||
Угол при вершине |
Задний угол α
|
Толщина сердцевины k, мм |
Стойкость отвер.
стия |
||
1
2
3
4 |
Основной уровень Интервал варьирования
Верхний уровень Нижний уровень |
132
7
139
125 |
16
5
21
11 |
0,85
0,10
0,95
0,75 |
|
5 |
Кодовое значение переменных |
Х1 |
Х2. |
Х3 |
Y |
6 |
Опыты 1 2 3 |
- + + |
- - + |
- + - |
251 303 310 |
|
4 5 6 7 8 . |
- + - - + |
- - + + + |
+ - - + + |
324 434 470 490 1127 |
7 8 9 |
bi bi Ji
|
69 623 |
126 630
0,8/126 |
97 9,7
|
- - - |
10
11 |
опыты на линии восхождения 1 2 3 |
4
140 144 148 |
4
24 28 32 |
0,07
0,99 1,06 1,2 |
1455 1627 1694 |
Примечание. Среднее из трех испытаний. |