8.6. Оптимизация функции отклика.

8.6.1. Метод крутого восхождения.

Движение по градиенту

После вывода уравнения регрессии с помощью постановки полного или дробного факторного эксперимента у экспериментатора может возникнуть следующий вопрос: можно ли оптимизировать полученную функцию отклика, т.е. добиться такого сочетания факторов, при котором полученная функция принимала бы оптимальные значения?

Для поиска оптимальных условий в планировании экстремальных экспериментов широко применяется метод крутого восхождения по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана полного или дробного факторного эксперимента.

Пример 8.6. Представим, что человек с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения. Достигнув вершины, человек должен оценить ее крутизну, сделав поочередно по шагу во все четыре стороны.

Градиент функции отклика есть вектор:

(8.15)

или

,

где grad - обозначение градиента; - частная производная функции по i-фактору; i, j, … k - единичные векторы в направлении осей факторного пространства.

Следовательно, составляющие градиента являются частными производными функции отклика. В случае, если модель линейна по параметрам, частные производные равны коэффициентам регрессии при факторах. Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффициентам регрессии и в ту сторону, в которую указывает знак коэффициентов.

Рассмотрим простейший случай для одного фактора. Пусть регрессионная модель имеет вид:

Градиент этой функции в точке x в соответствии с формулой можно записать так:

В начале координат (в точке x=0) , т.е. вектор-градиент функции имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента b₁ . На рис.6.6 представлена графическая иллюстрация вектора-градиента для этого случая.

y

В

O A

I

-1 0 +1

Рис..6. Расчет координат точек

в направлении градиента

Значение коэффициента регрессии равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если его умножить на интервал варьирования, который является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике ОАВ , то получится значение; равное размеру противолежащего катета , который и дает координаты точки, лежащей на градиенте.

Приведем краткий вывод основных соотношений для движения в направлении градиента функции отклика. Пусть функция отклика имеет вид полинома

y=b₀+b₁х₁+b₂х₂+…+b_Kx_K.

Вектор-градиент этой функции в начале координат, т.е. при х₁=0, х₂=0…x_K =0, запишем так:

Уравнение прямой линии, проходящей в факторном пространстве через начало координат параллельно вектору-градиенту в той же точке, имеет вид

x_i=λb_i при i=1,2,…,к.. (6.16)

Кодированные переменные x_i(i=1,2,…,к) связаны с натуральными переменными x₁,x₂,…,x_K формулой (6.1).Тогда из равенства (6.16) получим

при i=1,2,..k. (6.17)

Уравнение прямой (6.17) лежит в основе метода крутого восхождения. Точки с координатам x₁,x₂,…x_K удовлетворяющие этому уравнению, находятся на линии крутого .восхождения. Меняя значения параметра k, можно найти координаты нескольких точек, лежащих на данной линии. В соответствии с методом крутого восхождения отыскивается такая точка на линии, выраженной уравнением (6.17), которой отвечает максимальное значение величины .