- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
При построении полуреплики 23-1- существуют две возможности приравнять х3 к +х1х2 или к – х1х2. Поэтому есть только две полуреплики 23-1 (табл. 6.11).
Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение , а матрицы Символическое обозначение произведения столбцов, равное +I или -I, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если , то , так как .
Таблица 8.10
Число |
дробная |
условное |
число опытов |
|
фактор. |
реплика |
обозначение |
для дробной реплики |
для полного фактор. эксперимента |
3 |
½-реплика от 23 |
23-1 |
4 |
8 |
4 |
½-реплика от 24 |
24-1 |
8 |
16 |
5 |
½-реплика от 25 |
25-2 |
8 |
32 |
6 |
1/8-реплика от 26 |
26-3 |
8 |
64 |
7 |
1/16-реплика от 27 |
27-4 |
16 |
128 |
5 |
½-реплика от 25 |
25-1 |
16 |
32 |
6 |
1/4-реплика от 26 |
26-2 |
16 |
64 |
7 |
1/8-реплика от 27 |
27-3 |
16 |
128 |
8 |
1/16-реплика от 28 |
28-4 |
16 |
256 |
9 |
1/32-реплика от 29 |
29-5 |
16 |
512 |
Таблица 8.11
№ оп. |
I матрица х3=х1х2 |
№ оп. |
II матрица х3=-х1х2 |
||||||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1Х2Х3 |
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1Х2Х3 |
1 2 3 4 |
+ - + - |
+ - - + |
+ + - - |
+ + + + |
1 2 3 4 |
+ - + - |
+ - - + |
- - + + |
- - - - |
Аналогично можно определить, что х2=х1х3; х3=х1х2. Полученные соотношения, показывающие, с каким из эффектов смешан данный эффект, называются генерирующими соотношениями. Для рассматриваемого случая они означают, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками
Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны о двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III(по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать .
При выборе полуреплики 24-1 возможно восемь решений:
1.х4=х1х2; 2.х4=-х1х2; 3.х4=х2х3; 4.х4=-х2х3; 5 х4=х1х3; 6.х4=-х1х3;
7.х4=х1х2х3; 8.х4=-х1х2х3.
Разрешающая способность этих полуреллик различна. Так, peплики 1- 6 имеют по три фактора с определяющем контрасте, а 7- 8 по четыре. Реплики 7 – 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные.
Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, называются планами с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте) и имеют обозначения .
Пусть выбраны полуреплики, заданные определяющими контрастами I=х1х2х3х4 и I=-х1х2х3х4.Совместные оценки определяются следующими соотношениями:
х1=х2х3х4; х1х3=х2х4; х3=-х1х2х3;
х2=х1х3х4; х1х4=х2х3; х4=-х1х2х3;
х3=х1х3х4; х1х2=-х3х4;
х4=х1х2х3; х1=-х2х3х4; х1х3=-х2х4;
х1х2=х3х4; х2=-х1х3х4; х1х4=-х2х3.
Такой тип смешивания дает возможность оценивать линейные аффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка а взаимодействия первого порядка - совместно друг с другом. Если выбраны полуреплики с определяющими контрастами I=х1х2х4 и I=-х1х2х4, то можно получить планы с разрешающей способностью III. Некоторые основные эффекты смешиваются с парными взаимодействиями:
х1=х2х4, х2=х1х4.
Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов c разрешающей способностью 1У.
При выборе полуреплики 25-1 в распоряжении экспериментатора имеется 22 варианта. Так, х5 можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий, например х5=х1х2 или х5=х3х4 и т.д. В этом случае получается полуреплика с разрешающей способностью III. Очевидно, это не лучший выбор полуреплики. Затем х5 можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий (х5=х1х3х4, х5=х1х2х4, х5=х2х3х4, х5=х1х2х3). Тогда получим план с разрешающей способностью IV и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями. И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями х5=х1х2х3х4 или х5=-х1х2х3х4. Определяющими контрастами в этом случае будут I=х1х2х3х4х5 и I=-х1х2х3х4х5. Такие реплики называются планами с разрешающей способностью V и обозначаются .
Пусть, например, выбрана полуреплика, заданная генерирующим соотношением х5=х1х2х3х4. Коэффициенты регрессии будут оценками следующих эффектов:
где линейные эффекты смешаны с взаимодействиями третьего порядка, а взаимодействия первого порядка - с взаимодействиями второго порядка.
Предположив незначимость тройных и четверных взаимодействий, можно сказать, что основные и парные эффекты выделены в «чистом» виде.