1.2. Алгебра событий.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов в механике, операции сложения матриц в алгебре и т.д. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но и в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей.

Познакомимся с такими понятиями как сумма событий и произведение событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе.

С= А+В

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

С=А+В+D+…

Произведением двух событий A и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении и события А и события В. С= АВ.

Произведением нескольких событий называется событие,

состоящее в совместном появлении всех этих событий.

В= СDEF…

В алгебре событий рассматривается еще одно понятие - противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Обозначаются противоположные события- и .

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию. Изображать события в виде диаграмм предложил математик Вьенн, именем которого они и названы. Все возможные элементарные исходы представим в виде совокупности точек некоторого квадрата. Обе совокупности А и В изобразим в виде кругов, причем если события несовместные, круги не имеют общих точек, а если события совместные, то круги будут пересекаться.

Г еометрически сумму событий А и В будет выражать область, включающая в себя все точки, принадлежащие или кругу А, или кругу В, или одновременно и А, и В. Аналогичным образом интерпретируется и произведение двух событий А и В - это область, включающая в себя точки, принадлежащие одновременно и кругу А, и кругу В.

1.3. Зависимые и независимые события.

Условные и безусловные вероятности.

Для дальнейших рассуждений необходимо ввести понятия зависимых и независимых событий.

Случайные события могут быть взаимно независимыми или зависимыми одно от другого. Если два события являются взаимно независимыми, то вероятность появления одного из них не зависит от появления или не появления другого и не изменяется в зависимости от того, при каком предположении она вычисляется. Если событие А является зависимым от события В, вероятность его изменяется в зависимости от предположения от осуществления или неосуществления события А.

Теоретической характеристикой случайного события А, зависимого от события В, является условная вероятность появления события А, вычисленная в предположении осуществления события В. Обозначается она символом P(A/B). Можно встретить и такое обозначение P(A/BCD). Для взаимонезависимых событий А и В

Р(A/B)= P(A); P(B/A)= P(B),

т.е. условная вероятность равна безусловной.

Пример. В урне 20 шаров: 15 - белых; 5 - черных. Найти вероятность события А - вынуть 2 черный шар, при условии, что 1 шар - белый ( В ); при условии, что 1 шар - черный (С): P(A/B)=5/19; P(A/C)=4/19.